Лекция 6 Симметрическая группа

Пусть X – конечное множество из n элементов, т.е. . Поскольку мы договорились не говорить, что из себя представляют элементы множества X, то пусть

.

Рассмотрим биективное отображение

множества X в X. Обозначим – множество всех биективных отображений X в X.

Покажем, что –группа. Она называется симметрической группой или группой перестановок.

Определение. Биективное отображение  конечного множества Х в Х называется перестановкой (подстановкой).

Чтобы задать перестановку  необходимо:

• задать конечное множества X, которое будет называться областью определения перестановки ;

• задать алгоритм перестановки, т.е. для каждого элемента i из области определения перестановки необходимо указать тот элемент , в который он переходит под действием перестановки, причем так, чтобы различные элементы при перестановке не переходили в самих себя.

Обычно перестановка  изображается в виде следующей таблицы

, (1)

состоящей из области определения перестановки (прообразов) – верхняя строка, и области значений (образов)перестановки – нижняя строка, или

, (2)

где – переставленные соответствующим образом символы.

Если n – фиксировано, то часто в записи перестановки используется только последняя строка, которая однозначно определяет перестановку.

Пример. Для обозначения перестановок используются символы ,,,... .

Пусть , тогда перестановкупредставим в виде:

.

Замечание. Сама перестановка  не зависит от того, в какой последовательности выписаны пары, т.е.

.

Определение. Две подстановки называются равными, если их области определения совпадают, и каждый элемент их общей области определения они переводят в один и тот же элемент области значений.

Определение. Перестановка e называется единичной, если под действием ее все элементы множества  переходят сами в себя.

.

Операции на перестановках.

На множестве всех перестановок можно задать операцию, называемую умножением, такую, что

.

Эту операцию определим в соответствии с общим правилом композиции отображений:

Пример. Пусть

,

тогда

Вывод: т.е. операция умножения перестановок не коммутативна.

Замечание. Ассоциативность операции умножения перестановок выполняется – это означает, что если .

Определение. Перестановка называется обратной к перестановке, если

.

Определим алгоритм получения обратной перестановки.

. (3)

Таким образом, для получения обратной перестановки достаточно заменить местами области определения и области значения, т.е. поменять строки в перестановке.

Замечание. Область определения обратной перестановки следует упорядочить.

Пример. Найдем перестановку – обратную к перестановке:

.

Очевидно, что в данном случае , следовательно, обратная перестановка получена правильно.

Порядок  группы  S_n. Пусть . Перестановкой– первый элемент можно перевести в любой другой элемент и для этого существует ровно n различных возможностей. Но, зафиксировав, второй элемент перестановкоймы можем перевести в любой из n–1 оставшихся.

Общее число выборов иравно

.

Ттетий элемент перестановкой мы можем перевести в любой изоставшихся, а дляостается только один свободный элемент, следовательно, количество различных перестановок, а, следовательно, и количество элементов в группе, равно

.