Мощность множества. Кардинальные числа

Рассмотрим множество A и совокупность всех множеств, эквивалентных множеству A. На основании свойства транзитивности все эти множества будут эквивалентны между собой.

Назовем такую совокупность множеств классом эквивалентности.

Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие некоторый символ  (альфа), который будем называть кардинальным числом или мощностью каждого множества, входящего в данный класс эквивалентности.

. (1.9)

Таким образом, под мощностью множества понимается то общее, что присуще всем эквивалентным между собой множествам.

Если задан класс эквивалентных множеств и этому классу множеств поставлено в соответствие кардинальное число, то,, …,.

Замечание. 

1. Для конечных множеств понятие «число элементов» и понятие мощности множеств совпадают между собой.

2. Для бесконечных множеств понятие «число элементов» смысла не имеет. Можно говорить только о мощности множества. Понятие мощности есть естественное обобщение понятия числа элементов.

Пусть – множество натуральных чисел меньших или равных.

Определение. Конечным множеством называется множество, равномощное множеству – натуральных чисел меньших или равных. Оно содержитэлементов и его мощность равна. Пишут.

. (1.10)

Мощность пустого множества равна нулю .

Определение. Непустое и неконечное множество называется бесконечным.

Теорема. Мощность множества A всегда строго меньше мощности множества всех его подмножеств.

ℬ. (1.11)

Следствие. Если

ℬ. (1.12)

Определение. Всякое подмножество равномощное множеству натуральных чисел называется счетным, и его мощность равна (алеф нуль):

. (1.13)

Замечание. Алеф – первая буква еврейского алфавита, а – наименьшая мощность бесконечного множества.

Теорема. Множество всех подмножеств ℬмножества натуральных чисел несчетно. Его мощность называется мощностьюконтинуума и равна ₁ (алеф один):

ℬ. (1.14)

Пример. Мощность множества действительных чисел сегмента равна мощности континуума.

Теорема. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть A – бесконечное множество. Т.к. , мы можем выбрать среди его элементов какой-нибудь один; пусть это будет, тогда множество; выберем в нем какой-либо другой элемент – например,. После выделения таким способомэлементов множество, и можно выбрать еще один элемент, например,и т.д. Следовательно, множество A содержит счетное подмножество.

Континуум-гипотеза:

. (1.15)

Теорема. Объединение множества континуума и конечного или счетного множества имеет мощность континуума.

Пусть тогда

,, а. (1.16)

Теорема. Объединение конечного или счетного числа множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Характеристическая функция подмножеств.

Определение.  Характеристической функцией подмножества называется функция, определенная на универсальном множестве U следующим образом:

(1.17)

Если , то характеристическая функция пересечения двух подмножествравна:

. (1.18)

Характеристическая функция дополнения множества равна:

. (1.19)

Для получения выражения для характеристической функции объединения двух подмножеств воспользуемся очевидным соотношениеми формулой де Моргана.

Следовательно,

(1.20)

Для конечного множества A из определения характеристической функции следует, что

. (1.21)