Подмножества множеств. Алгебра подмножеств

Два множества A и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Из этого принципа следует, что для любых двух различных множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся элементом одного из них и не являющийся элементом другого. Так как пустые совокупности не содержат элементов, то они не различимы и поэтому пустое множество – единственно.

Подмножества. Определение равенства множеств можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества.

Определение. Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент A является элементом B.

.

Следствие 1. Очевидно, для любого множества A, т.к. каждый элемент из A есть элемент из A.

Следствие 2. Для любого множества A, , ибо если бы пустое множество не являлось подмножеством A, то в пустом подмножестве существовали бы элементы, не принадлежащие A. Однако пустое множество не содержит вообще ни одного элемента.

Если , то пишут, и если, то A – собственное подмножество B.

Понятие подмножества множеств позволяет легко формализовать понятие равенства двух множеств.

Утверждение. Для любых A и B

. (1.1)

Логическую эквивалентность, определяемую выражением (1.1) используют как основной способ доказательства равенства двух множеств.

Замечание. Отношение включения  обладает рядом очевидных свойств:

(рефлексивность);

(транзитивность).

Для любого множества X можно определить специальное множество всех подмножеств множества X, которое называется булеаном ℬ, которое включает в себя само множество X, все его подмножества и пустое множество .

Пример. Пусть – это множество, состоящее из трех элементов. Тогда булеанℬ(X) это множество:

ℬ

Собственными подмножествами ℬ(X) являются следующие множества:

{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}.

В общем случае, если множество X содержит n элементов, то множество его подмножеств ℬ(X) состоит из элементов.

Операции на множествах.

Пусть U – универсальное множество, . Тогда для множеств X,Y можно определить операции.

Определение. Объединением множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств (X или Y):

. (1.2)

Рис. 1.1 – Объединение множеств Рис. 1.2 – Пересечение множеств

Определение. Пересечением множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов, входящих в X и в Y одновременно:

. (1.3)

Определение. Разностью множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов, входящих в множество X, но не входящих в Y:

. (1.4)

Рис. 1.3 – Разность множеств Рис. 1.4 – Симметрическая

разность множеств

Определение. Симметрической разностью двух множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов множества X и элементов множества Y, за исключением элементов, являющихся общими для обоих множеств:

. (1.5)

Определение. Для любого множества дополнением множествадо U называется такое множество, что:

. (1.6)

Рис. 1.5 – Дополнение множества X до U

На рис. 1.1  1.5 представлены диаграммы Венна, наглядно демонстрирующие результаты операций .

Дополнение множества иногда обозначается . Операциисвязаны между собой законами де Моргана:

, (1.7)

. (1.8)

В справедливости законов де Моргана легко убедиться самостоятельно.

В таблице 1.1 представлены основные свойства операций над множествами.

Таблица 1.1

№	Свойства операций	Объединение, пересечение, дополнение
1	коммутативность	,
2	ассоциативность	,
3	дистрибутивность	,
4	идемпотентность	, ,,,,
5	теоремы де Моргана	,
6	инволюция

Операции объединения и пересечения можно обобщить. Пусть – множество индексов,– семейство подмножеств множества X.

Определение. Семейство подмножеств множества X, для которых, называетсяразбиением множества X, если выполняются следующие два условия:

,

.

Определение. Семейство подмножеств множества X называетсяпокрытием множества X, если: .

Будем, как и ранее, считать, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U. Тогда имеет место следующее определение.

Определение. Класс K подмножеств из U называется алгеброй, если:

1. ;

2. из того, что следует, что;

3. из того, что следует, что.

Пример. Пусть , тогда классобразует алгебру.

Определение. Класс F подмножеств из U образует -алгебру, если:

1. ;

2. из того, что следует;

3. из того, что ,следует, что.

Пример. Множество всех подмножеств U образует -алгебру, т.е.ℬ(U) – -алгебра.