КУРС

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

(АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ)

ТЕВЯШЕВ АНДРЕЙ ДМИТРИЕВИЧ

Д.Т.Н. ,ПРОФ. ЗАВ. КАФЕДРОЙ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ

Структура курса

Всего-160 ч.

Лекции-46 ч.

Практика-44 ч.

Контрольные работы-2.

ЭКЗАМЕН

Вопросы по курсу «Алгебра и геометрия»

II семестр.

І. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией.

1. Бинарные операции, способы задания и их свойства.

2. Основные типы алгебраических структур с данной бинарной операцией

3. Группа, аксиомы группы, элементарные свойства.

4. Абстрактные группы и их свойства.

5. Теорема о сложении и умножении степеней элементов группы и ее следствие.

6. Порядок элемента группы.

7. Подгруппы и их свойства

8. Минимальная подгруппа

9. Теорема о представлении элементов минимальной подгруппы.

10. Система образующих группы.

11. Циклическая группа. Определение и ее свойства.

12. Группа перестановок n-го порядка.

13. Группа вращений правильного n-угольника.

14. Морфизмы групп и их свойства.

15. Теорема о изоморфизме циклических групп одного порядка.

16. Теорема Кэли.

17. Гомоморфные отображения.

18. Ядро гомоморфизма.

19. Ядро линейного оператора

20. Смежные классы.

21. Теорема о разбиении группы на левые смежные классы.

22. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.

23. Теорема о подгруппах циклической группы и ее следствие.

24. Нормальные делители.

25. Теорема о ядре гомоморфизма.

26. Фактор-группа и ее свойства.

П. Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями.

1. Кольцо. Определение, элементарные свойства.

2. Кольцо классов вычетов.

3. Кольцо многочленов.

4. Кольцо целостности. Тело.

5. Гомоморфизмы и идеалы колец.

6. Теорема об идеале, порожденном элементом кольца.

7. Фактор кольца.

8. Поле. Определение. Элементарные свойства.

9. Факторизация отображений.

10. Теорема о поле кольца классов вычетов.

11. Малая теорема Ферма.

12. Простое поле.

13. Поле Галуа.

14. Нечеткие множества и операции над ними.

15. Вещественные интервалы и операции над ними.

16. Релятивистские операции.

17. Релятивистское поле.

Условные обозначения

Числовые множества.

Все числовые множества имеют общепринятые обозначения:

N={1,2,3,...} - множество натуральных чисел;

Z={...-2,-1,0,1,2,...} - множество целых чисел;

- множество рациональных чисел;

R - множество вещественных чисел;

C - множество комплексных чисел.

Нечисловые множества также имеют обозначения:

- множество матриц размерности с вещественными коэффициентами;

- множество квадратных матриц размерности с вещественными коэффициентами.

- множество k-раз непрерывно дифференцируемых функций, заданных на интервале [a,b];

Æ - пустое множество;

U - универсальное множество.

Кроме того, мы будем использовать ряд стандартных обозначений:

"x (для всех х);

$x (существует x);

$!x (существует единственный x);

AÞB (из A следует B);

AB (логическая эквивалентность: из A следует B и из B следует A);

связки "Ù" - "и", "Ú" - "или", "Ø" - "нет".

Элементы теории множеств

В современной математике все множества делятся на два основных класса: четкие множества – "Sets" и нечеткие множества – "Fuzzy Sets".

Способы задания четких множеств

Существуют два основных способа задания четких множеств:

1. Задание перечислением конечных множеств.

.

Важнейшим свойством элементов этого множества является то, что они принадлежат множеству , т.е.Задать множество – это указать для любого элемента принадлежит или не принадлежит он этому множеству. Этот способ эффективен для задания только конечных множеств.

2. Задание признаком.

Это гораздо более мощный инструмент, позволяющий определить как конечные, так и бесконечные множества по свойству, которым обладают все элементы данного множества. Основой задания признаком является принцип свертывания.

Определение. Пусть – некоторое свойство объектаили условие на объект. Тогда существует множество, элементами которого являются в точности все объекты, обладающие данным свойством:

.

Читается это так: – это множество всех объектов, таких, которые обладают свойством.

Сравнение множеств. Эквивалентные множества

Пусть A,B – два конечных множества. Если множество A состоит из элементов, а множество B изэлементов, то междуиможет существовать одно из соотношений:,,. Какое из этих соотношений действительно имеет место легко установить.

Если множества бесконечны, то говорить о количестве элементов не имеет смысла, а значит и сравнивать эти множества по количеству элементов нельзя. В этом случае используется метод установления взаимно однозначного соответствия.

Определение. Если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элементи наоборот, то между элементами множеств A и B установлено взаимно однозначное соответствие.

Определение. Если между элементами двух различных множеств A и B установлено взаимно однозначное соответствие, то эти множества называются эквивалентными и записываются так: .

Из определения эквивалентности множеств следуют следующие свойства:

• (рефлексивность);

• если , то(симметричность);

• если и, то(транзитивность).

Пример. Множество натуральных чисел N эквивалентно множеству четных натуральных чисел, т.к. каждому ставим в соответствие(четные числа). Кроме того, множествоэквивалентно множеству нечетныхнатуральных чисел т.к. каждому можно поставить в соответствие нечетноенатуральных число .

Введем следующие обозначения:

–множество нечетных натуральных чисел;

–множество четных натуральных чисел.

Тогда , причеми.