Минимальная подгруппа.

Пусть произвольное подмножество множествагруппы, попробуем выбрать подгруппугруппы, содержащуюи такую, что для всякой подгруппыиз того, чтобудет вытекать включение, т.е.– минимальная подгруппа, содержащая множество.

Лемма. Двух минимальных подгрупп и, содержащих, не существует.

Доказательство. Действительно, если и, где,– две минимальные подгруппы, то из того, что, а из того, что, откуда следует, что.

Системы образующих.

Пусть – некоторая группа, и существует семейство подгрупп {,} группы G, т.е..

Теорема. Пересечение любого семейства подгруппгруппы G является подгруппой.

Доказательство. Пусть e – единичный элемент группы G, тогда свойства:

1. ,

2. ,

3. ,

характеризующие всякую подгруппу, выполнены в , т.к. они выполнены в каждой из подгруппв отдельности.

Это свойство групп позволяет находить в любой группе "наименьшую" или "минимальную" подгруппу, содержащую заданное множество элементов группы G.

Рассмотрим множество элементов группы G.

Наименьшая подгруппа, которой принадлежат эти элементы, содержится во всякой другой подгруппе, включающей в себя помимо элементов множества S, еще какие-то другие элементы группы .

Выберем теперь в качестве семейства все те подгруппы, которые содержат данное множество S, тогда их пересечение

(10)

и будет минимальной "наименьшей" подгруппой, содержащей множество S.

Определение. Подгруппа , определяемая в виде (10), называется минимальной подгруппой, содержащей множество S.

Замечание. На первый взгляд минимальная подгруппа задается неконструктивно, поскольку необходимо перебирать все подгруппы, содержащие заданное множество S, а затем найти их пересечение. Необходимости в этом, однако, нет.

Покажем это.

Пусть .

Поскольку подгруппа содержит элементы a, b, c, то три элемента этой подгруппы уже известны.

Кроме того, мы знаем, что подгруппе принадлежит единичный элемент e.

Из обобщенной ассоциативности следует, что вместе с каждым из элементов a, b, c подгруппе принадлежат и все (целые) степени ее элементов, а так же все произведения степеней.

Следовательно, подгруппа состоит из элементов вида:

, (11)

где – целые числа.

Замечание. 1. Некоторые из произведений вида (11) могут не содержать какого либо из элементов {a, b, c}, но их также можно представить в виде (11), положив соответствующие показатели степени равными нулю.

2. Единичный элемент e также можно представить в виде (11), положив все показатели степени равными нулю.

Вывод. Подгруппа , порожденная элементами множества, состоит из произведений степеней образующих элементов вида (11).

Сформулируем этот вывод в виде следующего утверждения.

Утверждение. Минимальная подгруппа группы G совпадает с множеством T, состоящим из единичного элемента e и всевозможных произведений:

, (12)

где: либо , либо.

Доказательство. 

Если ,

следовательно

и если

то множество T является подгруппой в G.

С другой стороны, каждая подгруппа H, содержащая все , должна содержать все их обратныеи, стало быть, все их произведения вида.

Поэтому и T совпадает с пересечением всех этих подгрупп.

Замечание. Далеко не все произведения будут различными элементами подгруппы, даже если условиться заменять все встречающиеся пары,взаимно обратных элементов единичным элементом. В общем случае привопрос о равенстве произведенийдостаточно сложен.

Определение. Если подгруппа , порожденная элементами множества S, совпадает со всей группой G, то элементы множества S называютсясистемой образующих элементов группы .

Определение. Если множество S конечно, то группа , порожденная множеством S, называется конечнопорожденной группой.

Утверждение. Каждая группа G порождается какой-либо системой образующих S.

Доказательство. Пусть G – группа, порождённая конечным множеством S своих элементов.

Удаляя из S "лишние" элементы, которые записываются в виде произведения оставшихся и их обратных, мы придем к минимальной системе образующих группы G, где.

Это означает, что , но, если система образующихполучена изудалением хотя бы одного элемента.

Пример 1. Пусть G – аддитивная группа целых чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Решение. 1. Если S={2}, то ;

2.Если S={4, 6}, то .

Ясно, что все элементы подгруппы четные т.к. общий элементэтой подгруппы можно представить в виде четного числа .

Естественно, возникает вопрос, все ли четные числа содержатся в данной подгруппе?

Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, принадлежит ли число два этой подгруппе. Если число два принадлежит подгруппе , то и все его степени (т.е. четные числа) принадлежат этой подгруппе.

.

Пусть

Тогда имеем ,

следовательно, и подгруппабудет содержать все элементы, порожденные числом два, т.е. все четные числа.

3.Если S={0}, тогда

4.Если S={1}, то

5.Если S={–1}, то

Пример 2. Пусть G – мультипликативная группа положительных вещественных чисел, т.е. .

Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством S, если:

1. ,

2. .

Решение. 1. Если , то;

1. Если S={1}, то

Пример 3. Пусть – аддитивная группа рациональных чисел.

Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством

.

Решение. В минимальную подгруппу должны входить все целые кратные рационального числа.

Кроме того, подгруппе принадлежит любое целое число четвертых, восьмых и т.д.

Следовательно, эта подгруппа содержит все дроби, в знаменатель которых не входят никакие простые числа, кроме 2 (т.е. в знаменателе могут стоять лишь степени числа 2).

Но такие дроби образуют подгруппу, содержащую все заданные числа.

Следовательно, минимальная подгруппа состоит из дробей, знаменателями которых служит степень числа 2.