Лекция 3

Теорема. Каковы бы ни были :

Доказательство. 1. Пусть , т.е.,, тогда

.

2. Если , т.е.,, то введем следующие обозначения:, имеем:

.

3. Если , а, т.е.,, то обозначая, как и ранее,, имеем:

Аналогично рассматривается случай .

Равенство

вытекает из предыдущего и определения степени.

Следствие 1. Степени одного и того же элемента можно переставить:

.

Это свойство следует из коммутативности сложения: .

Следствие 2.  -я степень обратного элемента совпадает с элементом, обратным данному в-й степени, т.е.

Замечание. Если – аддитивная группа, то

и .

Порядок элемента группы

Рассмотрим степени одного элемента . Эти степени могут быть различны, как, например, в группе целых чисел, где каждый элементимеет бесконечный порядок. Но это справедливо не для всех групп.

Например, в конечной группе, какой бы элемент мы не выбрали, все его степени не могут быть различными, т.к. в противном случае группа содержала бы бесконечное число элементов.

Итак, пусть , причем не все степени элемента различны (будем помнить, что по определению

).

Наша задача навести некоторый порядок среди совпадающих степеней.

Установим первый факт, заключающийся в том, что совпадение степеней элемента зависит только от "расстояния" между показателями степени. Это означает, что, если

, (7)

то будут совпадать и множество других степеней, связанных с и.

Действительно, если умножить каждую часть равенства (7) справа на , получим

.

С другой стороны, если умножить каждую часть равенства (7) справа на , получим

.

Если этот процесс продолжить, то мы можем получить степень, совпадающую с единичным элементом, т.е.

.

Следовательно, для наведения порядка среди совпадающих степеней элемента , достаточно определить те степени элемента, которые совпадают с единичным элементом.

Утверждение. Соотношение выполняется в том и только в том случае, если

. (8)

Доказательство. Если

,

то, умножая это равенство почленно на справа, получаем

.

С другой стороны, если

то, умножая последнее равенство на справа, получим

.

Следствие. Если

,

то

:.

Вывод. Любая степень единичного элемента есть единичный элемент.

Другими словами, если какая-либо небольшая степень элемента , например,совпадает с единичным элементом, то и многие большие степени, также будут совпадать с единичным элементом, т.е.

.

Это означает, что следует рассматривать только наименьшие степени элементов, обращающиеся в единичный элемент.

Определение. Наименьшее целое положительное число , при котором выполняется равенство

,

называется порядком элемента и обозначается

или .

Если порядок элемента равен, т.е. если

,

тогда равенство

выполняется всегда.

Возникает вопрос: не может ли равенство

выполняться при каком-либо другом ?

Предположим, что такая степень существует и пусть такое число. Поскольку

и ,

то этими же свойствами обладают и числа ,т.е.

, .

Пусть , тогда вычитаяиздостаточное число раз, мы получим неотрицательное числообладающее теми же свойствами, что и n. Пусть, где, для котрого

.

Поскольку, по определению степени, число – наименьшее положительное число, при котором, то числоне может быть положительным! Но– целое неотрицательное число и поэтому не меньше нуля.

Следовательно, – может быть только равно нулю, а это означает, что.

Вывод. Доказано, что в том и только в том случае, если показатель степеникратен порядкуэлемента, т.е. имеет вид.

Отсюда следует, что если , то все элементы вида

, (9).

различны.

Действительно, если какие-либо два из этих элементов совпадают, то:

1. разность их показателей меньше , т.к. каждый из показателей меньше;

2. эта разность делится на и, следовательно, может быть только равна нулю, т.е. оба показателя совпадают.

Утверждение. Если , то любая степень элемента совпадает с одним из элементов ряда (9).

Доказательство. Для любого целого числа найдется такое целое число, что

,

где и такое, что, тога

.

Определение. Если все степени какого-либо элемента различны, то он называется элементом бесконечного порядка.

Замечание. Если все степени ,элементаразличны, то и группа , конечно же, бесконечна. В ней, однако, могут содержаться и элементы конечного порядка, например элементв мультипликативной группе отличных от нуля рациональных чисел имеет порядок 2.