2.9.5 Свойства фактор-групп

Докажем несколько теорем о простейших свойствах фактор-групп.

Теорема 1. Каждая фактор-группа абелевой группыG – абелева.

Доказательство. Если G – абелева группа, то

Теорема 2. Каждая фактор-группа циклической группыG также циклическая.

Доказательство. Пусть G – циклическая группа, порожденная элементом ,H – некоторая подгруппа группы G и – произвольно выбранный элемент фактор-группы. Тогда существует такое целое число , что и поэтомуСледовательно.

Теорема 3. Порядок любой фактор-группы конечной группыпорядкаявляется делителем порядка этой группы.

Доказательство. Действительно, порядок фактор-группы равен индексу нормального делителяH в группе G: т.е.делит, где ,.