3. Разложение аддитивной группы целых чисел на множество классов вычетов по модулю m

Определение. Два целых числа сравнимы между собой по, если при делении наони дают одинаковые остатки:

.

Лемма 1. 

Сравнение по есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Для доказательства проверим выполнение аксиом отношения эквивалентности:

• рефлексивность :

;

• симметричность

;

• транзитивность .

.

Лемма 2. Если иимеют при делении наодинаковые остатки, то они сравнимы по модулю.

Доказательство.

.

Лемма 3. Если , тогда при делении начисладают одинаковые остатки.

Доказательство.

Из . Представимв виде,, где ,.

Тогда .

Это означает, что разность делится на, нои, а так как делится на , то.

Пусть

,

где , причем– простое число.

При делении любого числа на существует ровноостатков,, а каждому остатку соответствует свой класс эквивалентности:.

, – числа, делящиеся на.

, – числа, дающие при делении наостаток 1.

, – числа, дающие при делении наостаток 2.

, – числа, дающие при делении наm остаток .

, и.

Таким образом, аддитивную группу целых чисел можно представить в виде объединения m непересекающихся левых смежных классов:

. (2.49)

Определение. Классы вычетов по модулю m – это левые смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе , а разложение (2.49) является разложением аддитивной группы целых чисел на классы вычетов.

Замечание. Несмотря на то, что аддитивная группа целых чисел и ее собственная подгруппабесконечны, количество классов вычетов по модулюm конечно и не превосходит m.

2.9.2 Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа

Множество всех левых смежных классов группы G по подгруппе H обозначается (иногдаи– соответственно для левых и правых смежных классов). Таким образом

. (2.50)

Мощность множества – называетсяиндексом подгруппы H в группе G.

Индекс подгруппы H в группе G обозначается

. (2.51)

В этих обозначениях – означает число левых смежных классов группыпо единичной подгруппе, т.е.

. (2.52)

Учитывая, что , получаем

. (2.53)

В других обозначениях: пусть – порядок конечной группы;– порядок подгруппы;– индекс подгруппыв группе. Тогда

. (2.54)

Для конечных групп из (2.55) можно выразить индекс

. (2.55)

Из выражений (2.54), (2.55) следует классическая

Теорема Лагранжа. Порядок конечной группыделится на порядоккаждой своей подгруппы.

Следствие. 1. Порядок любого элемента делит порядок группы.

2. Группа простого порядка p всегда циклическая и, с точностью до изоморфизма, единственная.

Доказательство. 1. Так как порядок любого элемента совпадает с порядком ее циклической подгруппы, образованной этим элементом, , то как и ранее, обозначая – порядок конечной группы,– порядок подгруппы , – индекс подгруппы в группе, приходим к (2.54), т.е..

Пусть – простое число, а – неединичная подгруппа. Тогда делимость на |H| означает, что , т.е.совпадает с циклической подгруппой, порожденной элементом , а все циклические группы конечного (данного) порядка изоморфны. Это позволяет говорить о единственности.

Замечание. Теорема Лагранжа утверждает, что если ,a , то , т.е. порядоклюбой подгруппыH группы G делит N – порядок группы G.

Естественно, возникает вопрос об обратной теореме: если m является делителем , то существует ли в группеG подгруппа H порядка m? Другими словами: существует ли для каждого делителя m порядка группы N подгруппы H группы G порядка m? В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых частных случаях такое обращение теоремы Лагранжа справедливо.

Теорема. 1. Всякая подгруппа циклической группы есть снова циклическая группа.

2. Подгруппы бесконечной циклической группы исчерпываются бесконечными группами.

3. Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителямичисла.

Доказательство. 1. Пусть – произвольная циклическая группа порядка . Для определенности будем предполагать, что – аддитивная группа. В этом случае общий элемент группыимеет вид. Пусть– произвольная неединичная подгруппа группы, т.е.. Так как, то элементами подгруппыявляются элементы вида, но если.

Среди всех элементов вида , выберем элемент, где– наименьшее положительное число. Тогда любоеможно представить в виде:. Из того, что

,

но m – наименьшее число, удовлетворяющее условию mgH  r = 0  H =<mg>, т.е. Н – циклическая группа.

2. Так как – циклическая группа с образующим элементом 1 или, т.е., то, в соответствии с пунктом 1 данной теоремы, любая подгруппаH циклической группы определяется натуральным числоми имеет вид

,

причем все эти подгруппы бесконечны.

3. Пусть, как и ранее, – аддитивная циклическая группа порядка, т.е.. Если, причем, если элемент

.

Нам надо доказать, что делит. Действительно, представим. Тогда из того, что, а минимальностьвлечет, следовательно.

Таким образом, из того, что следует, что подгруппаимеет порядок, т.е..

Когда пробегает по всем положительным делителям числа, то же самое делает и, и мы получаем ровно по одной подгруппе порядка, делящего.

Следствие. В циклической группе порядкаподгруппапорядкасовпадает с множеством элементовтаких, что.

Доказательство. Если , тои. Обратно, пустьи. Из условияследует, что, откудаи.