Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ЛЕКЦИЯ 14

.doc

Скачиваний:

185

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

912.9 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 14

Кольцо многочленов

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от одной переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

, (23)

где .

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что , скажем и запишем

(24)

Степенью многочлена называется число , если оно существует.

Если же все обращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0.Число по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена неопределенна.

Степень многочлена обозначается (дигри).

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

с булевыми коэффициентами ;

с целочисленными коэффициентами ;

с вещественными коэффициентами ;

с рациональными коэффициентами ;

с комплексными коэффициентами .

Пусть и - два многочлена:

Определение. Многочлены и равны тогда и только тогда, когда , при которых определены, а все остальные , равны нулю.

Обозначение .

Из определения равенства многочленов следует:

1.Нулевой многочлен равен только нулевому многочлену.

2.Для ненулевых многочленов

равенство означает,что

==m и :.

Замечание. Равенство многочленов определённое таким образом означает тождественное или формальное равенство в отличие от равенства многочленов как функций.

Множество всех многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами обозначим .

Тогда

,=m.

На множестве всех многочленов от переменной x с вещественными переменными определены две алгебраические операции –сложение и умножение многочленов.

Пусть имеется два многочлена степени и степени .

Определение. Суммой двух многочленов и называется многочлен

(25)

где и

(26)

Из определения суммы многочленов следует:

1.Для любого многочлена

:+0=0+;

2. Для ненулевых многочленов и

:(,);

3.Если

, ,то

т. е. операция сложения многочленов и является алгебраической операцией на множестве всех многочленов .

Определение. Произведением двух многочленов и называется многочлен

, (27)

где .

Замечание. Суммирование в

ведётся по всем индексам i и j, для которых i+j=k.

Из определения умножения многочленов следует:

1. Произведение ненулевых многочленов не может быть нулевым, при этом

2. Если , , то , т.е. умножение многочленов является алгебраической операцией на множестве .

3. Операция умножения многочленов с вещественными коэффициентами порождает операцию умножения многочлена на число из как частный случай умножения многочленов. Если , то

Теорема. Множество всех многочленов с коэффициентами из является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

Доказательство. Проверим все аксиомы кольца.

1. - аддитивная абелева группа. Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (2). Нулем является нулевой многочлен. Противоположным (обратным) к многочлену является многочлен .

2. - моноид ( полугруппа с единицей).

2.1. Коммутативность умножения следует из определения.

2.2. Докажем ассоциативность умножения.

Пусть , ,

Рассмотрим произведение многочленов

= , где

= ,

где = =

= , где =

= =

Учитывая, что

операция умножения многочленов из - ассоциативна.

2.3 Роль единицы при умножении многочленов

Пример. Пусть заданы два многочлена с булевыми коэффициентами, т.е. .

Суммой многочленов является многочлен вида:

а произведением – многочлен :

Можно показать, что введенная операция умножения многочленов ассоциативна, следовательно многочлены образуют по операции умножения полугруппу, и эта полугруппа коммутативна.

Вывод. Многочлены с целочисленными коэффициентами образуют коммутативное кольцо. Можно показать, что многочлены с рациональными, вещественными и комплексными коэффициентами также образуют соответствующие кольца многочленов. В общем случае говорят о «кольцах многочленов над кольцом .

В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел.

Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов кольца целостности в кольце существует такой элемент , что , то говорят, что элемент делится на , и пишут или делит , и пишут , или .

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент делится на любой делитель единицы . Действительно, если – делитель единицы, то и – также делитель единицы, а это означает, что , тогда и, следовательно, .

6. Если делится на , то делится и на , где – любой делитель единицы.

Действительно, из равенства следует равенство и, следовательно, .

7. Каждый элемент из делителей и , где – любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства следует равенство , а из равенства – равенство . Следовательно, если , то , и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными, если каждый из них является делителем другого:

. (55)

Из равенства (55) следует, что . Отсюда, сократив обе части полученного равенства на , получаем . Следовательно, и являются делителями единицы. Таким образом, если и – ассоциированные элементы, то , где – некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы , элементы и ассоциированные между собой, поскольку .

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными, если , где – некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел ассоциированными являются пары чисел .

Если и ассоциированные элементы кольца целостности, то . Отсюда следует, что – главный идеал, порожденный элементом является подмножеством – главного идеала, порожденного элементом и наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента , кольца целостности порождают один и тот же главный идеал.

Пусть – произвольные элементы кольца целостности .

Определение. Элемент называется общим делителем элементов и , если каждый из этих элементов делится на .

По свойству 5 все делители единицы кольца целостности являются общими делителями элементов и . Но у элементов и могут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называют наибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисел и , а именно: НОД двух чисел и называется такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности .

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов кольца целостности называется такой элемент , обозначаемый символом и обладающий двумя свойствами:

;
.

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если – НОД элементов , то формально это записывается в виде или . Если также и , то элементы и делятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если , то, очевидно, , где – любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов определяется с точностью до сомножителя , который является делителем единицы.