Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ЛЕКЦИЯ 4

.doc

Скачиваний:

195

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

322.05 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 4

Собственные подгруппы группы

В любой группе можно выделить по крайней мере две подгруппы:

– подгруппу, содержащую только один единичный элемент.

– подгруппу, совпадающую с самой группой.

В общем случае количество выделяемых подгрупп в группе зависит от мощности группы .

Если и множество – конечно, то конечно и количество выделяемых подгрупп.

Если – бесконечно, то количество выделяемых подгрупп может быть как конечно, так и бесконечно.

Определение. Подгруппа называется собственной подгруппой, если: и .

В противном случае подгруппа называется несобственной или тривиальной. Итак,

и – несобственные или тривиальные подгруппы группы .

Минимальная подгруппа.

Пусть произвольное подмножество множества группы , попробуем выбрать подгруппу группы , содержащую множество и такую, что для всякой подгруппы из того, что будет вытекать включение , т.е. – минимальная подгруппа, содержащая множество .

Лемма. Двух минимальных подгрупп и, содержащих множество , не существует.

Доказательство. Действительно, если и , где , – две минимальные подгруппы, то из того, что , а из того, что , откуда следует, что .

Системы образующих.

Пусть – некоторая группа, и существует семейство подгрупп

{,}

группы G, т.е. .

Теорема. Пересечение любого семейства подгрупп группы G является подгруппой.

Доказательство. Пусть e – единичный элемент группы , тогда свойства:

1. ,

2. Если ,

3. Если ,

характеризующие всякую подгруппу, выполнены в , т.к. они выполнены в каждой из подгрупп в отдельности.

Это свойство групп позволяет находить в любой группе "наименьшую" или "минимальную" подгруппу, содержащую заданное множество элементов группы G.

Рассмотрим множество элементов группы G.

Наименьшая подгруппа, которой принадлежат эти элементы, содержится во всякой другой подгруппе, включающей в себя помимо элементов множества S, еще какие-то другие элементы группы .

Выберем теперь в качестве семейства все те подгруппы, которые содержат данное множество S, тогда их пересечение

(10)

и будет минимальной "наименьшей" подгруппой, содержащей множество S.

Определение. Подгруппа , определяемая в виде (10), называется минимальной подгруппой, содержащей множество S.

Замечание. На первый взгляд минимальная подгруппа задается неконструктивно, поскольку необходимо перебирать все подгруппы , содержащие заданное множество S, а затем найти их пересечение. Необходимости в этом, однако, нет.

Покажем это.

Пусть .

Поскольку подгруппа содержит элементы a, b, c, то три элемента этой подгруппы уже известны.

Кроме того, мы знаем, что подгруппе принадлежит единичный элемент e.

Из обобщенной ассоциативности следует, что вместе с каждым из элементов a, b, c подгруппе принадлежат и все (целые) степени ее элементов, а так же все произведения степеней.

Следовательно, подгруппа состоит из элементов вида:

, (11)

где – целые числа.

Замечание. 1. Некоторые из произведений вида (11) могут не содержать какого либо из элементов {a, b, c}, но их также можно представить в виде (11), положив соответствующие показатели степени равными нулю.

2. Единичный элемент e также можно представить в виде (11), положив все показатели степени равными нулю.

Вывод. Подгруппа , порожденная элементами множества , состоит из произведений степеней образующих элементов вида (11).

Сформулируем этот вывод в виде следующей теоремы.

Теорема о представлении элементов минимальной подгруппы.

Минимальная подгруппа группы G совпадает с множеством T, состоящим из единичного элемента и всевозможных призведений вида:

, (12)

где: либо , либо .

Доказательство.

Если ,

следовательно

и если

Это означает, что множество T является подгруппой H в G.

С другой стороны, каждая подгруппа H, содержащая все , должна содержать все их обратные и, стало быть, все их произведения вида .

Поэтому и T совпадает с пересечением всех этих подгрупп.

Замечание. Далеко не все произведения будут различными элементами подгруппы , даже если условиться заменять все встречающиеся пары , взаимно обратных элементов единичным элементом. В общем случае при вопрос о равенстве произведений достаточно сложен.

Определение. Если подгруппа , порожденная элементами множества S, совпадает со всей группой G, то элементы множества S называются системой образующих элементов группы .

Определение. Если множество S конечно, то группа , порожденная множеством S, называется конечнопорожденной группой.

Утверждение. Каждая группа G порождается какой-либо системой образующих S.

Доказательство. Пусть G – группа, порождённая конечным множеством S своих элементов.

Удаляя из S "лишние" элементы, которые записываются в виде произведения оставшихся и их обратных, мы придем к минимальной системе образующих группы G, где .

Это означает, что , но , если система образующих получена из удалением хотя бы одного элемента.

Пример 1. Пусть G – аддитивная абелева группа целых чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством S, если:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Решение. 1. Если S={2}, то

;

2.Если S={4, 6}, то

Ясно, что все элементы подгруппы четные т.к. общий элементэтой подгруппы можно представить в виде четного числа .

Естественно, возникает вопрос, все ли четные числа содержатся в данной подгруппе?

Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, принадлежит ли число два этой подгруппе. Если число два принадлежит подгруппе , то и все его степени (т.е. четные числа) принадлежат этой подгруппе.

Пусть

Тогда имеем ,

следовательно, и подгруппа будет содержать все элементы, порожденные числом два, т.е.

3.Если S={0}, то

4.Если S={1}, то

5.Если S={–1}, то

Вывод. Образующими элементами аддитивной абелевой группы целых чисел являются числа 1и -1.

Пример 2. Пусть G – мультипликативная абелева группа положительных вещественных чисел, т.е. .

Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством S, если:

1. ,

2. .

Решение. 1. Если , то

;

Если S={1}, то

Пример 3. Пусть – аддитивная абелева группа рациональных чисел.

Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством

Решение. В минимальную подгруппу должны входить все целые кратные рационального числа .

Кроме того, подгруппе принадлежит любое целое число четвертых, восьмых и т.д.

Следовательно, эта подгруппа содержит все дроби, в знаменатель которых не входят никакие простые числа, кроме 2 (т.е. в знаменателе могут стоять лишь степени числа 2).

Но такие дроби образуют подгруппу, содержащую все заданные числа.

Следовательно, минимальная подгруппа состоит из дробей, знаменателями которых служит степень числа 2.