2.5 Подгруппы группы. Минимальная подгруппа. Системы образующих

Рассмотрев некоторые элементарные свойства групп, перейдем к анализу взаимосвязей между различными группами. Такой анализ мы начнем с групп с совпадающими операциями. Это приводит к понятию подгруппы группы. Рассмотрим две группы ,.

Определение. Группа называется подгруппой группы, если и групповые операции  и  совпадают на множестве .

Утверждение. Для того чтобы непустое подмножество группыбыло подгруппой, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

• если (единичный элемент группы принадлежит подгруппе);

• (существует обратный элемент).

Пример 1. Пусть – аддитивная группа целых чисел. В ней можно выделить ряд подгрупп:

1. – подгруппу чётных чисел. Легко проверить, что множествос заданной операцией сложения образует группу:

• сумма двух чётных чисел – чётное число;

• операция сложения чётных чисел – ассоциативна;

• единичным элементом является нуль – чётное число;

• число, обратное чётному числу – чётное число.

2. – подгруппу чисел кратных;

3. – подгруппу, содержащую только нуль;

4. – подгруппу целых чисел.

Пример 2. Рассмотрим аддитивную группу рациональных чисел . В ней можно выделить следующие подгруппы:

• подгруппу целых чисел ;

• все подгруппы аддитивной группы целых чисел;

• рациональные числа, представимые в виде дробей с нечётными знаменателями: если знаменатели дробей инечётны, то и их сумма – дробь– имеет нечетный знаменатель, нуль можно представить в виде дроби с нечётным знаменателем, а число противоположное рациональному числу с нечётным знаменателем есть тоже число со знаком «минус», т.е. также может быть представлено числом с нечётным знаменателем.

Замечание. Мы не можем утверждать, что дроби с нечётными знаменателями образуют подгруппу, поскольку любую такую дробь можно представить в виде дроби с чётным знаменателем: например, дробь можно записать в виде. Следовательно, хотя в действительности мы имеем в виду дроби с нечётными знаменателями, следует применять лишь приведённое выше точное название подгруппы.

Пример 3. Рассмотрим мультипликативную группу вещественных чисел, отличных от нуля . В ней можно выделить следующие подгруппы:

• мультипликативную группу положительных вещественных чисел : произведение двух положительных вещественных чисел положительно (и вещественно), единица – число положительное, число, обратное положительному, также положительно;

• подгруппу, состоящую из чисел ,: произведение любых двух чисел из множестваравно либо, либо. Каждое из двух чиселобратно самому себе.

Замечание. 1. В любой группе можно выделить по крайней мере две подгруппы:

• –подгруппу, содержащую только один единичный элемент.

• –подгруппу, совпадающую с самой группой.

2. В общем случае количество выделяемых подгрупп в группе зависит от мощности группы. Еслии множество– конечно, то конечно и количество выделяемых подгрупп. Если– бесконечно, то количество выделяемых подгрупп может быть как конечно, так и бесконечно.

Определение. Подгруппа называется собственной подгруппой, если:и.

В противном случае подгруппа называется несобственной илитривиальной. Итак, – тривиальные подгруппы любой группы.

Минимальная подгруппа. Пусть произвольное подмножество множествагруппы, попробуем выбрать подгруппугруппы, содержащуюи такую, что для всякой подгруппыиз того, чтобудет вытекать включение, т.е.– минимальная подгруппа, содержащая множество.

Лемма. Двух минимальных подгрупп и, содержащих, не существует.

Доказательство. Действительно, если и, где,– две минимальные подгруппы, то из того, что, а из того, что, откуда следует, что.

Системы образующих. Пусть – некоторая группа, и существует семейство подгрупп {,} группы G, т.е..

Теорема. Пересечение любого семейства подгруппгруппы G является подгруппой.

Доказательство. Пусть e – единичный элемент группы G, тогда свойства:

1. ,

2. ,

3. ,

характеризующие всякую подгруппу, выполнены в , т.к. они выполнены в каждой из подгруппв отдельности. Это свойство групп позволяет находить в любой группе "наименьшую" или "минимальную" подгруппу, содержащую заданное множествоэлементов группы G. Рассмотрим множествоэлементов группы G. Наименьшая подгруппа, которой принадлежат эти элементы, содержится во всякой другой подгруппе, включающей в себя помимо элементов множества S, еще какие-то другие элементы группы.

Выберем теперь в качестве семейства все те подгруппы, которые содержат данное множество S, тогда их пересечение

(2.20)

и будет минимальной "наименьшей" подгруппой, содержащей множество S.

Определение. Подгруппа , определяемая в виде (2.20), называется минимальной подгруппой, содержащей множество S.

Замечание. На первый взгляд минимальная подгруппа задается неконструктивно, поскольку необходимо перебирать все подгруппы, содержащие заданное множество S, а затем найти их пересечение. Необходимости в этом, однако, нет. Покажем это.

Пусть . Поскольку подгруппасодержит элементы a, b, c, то три элемента этой подгруппы уже известны. Кроме того, мы знаем, что подгруппепринадлежит единичный элемент e. Из обобщенной ассоциативности следует, что вместе с каждым из элементов a, b, c подгруппепринадлежат и все (целые) степени ее элементов, а так же все произведения степеней. Следовательно, подгруппасостоит из элементов вида:

, (2.21)

где – целые числа.

Замечание. 1. Некоторые из произведений вида (2.21) могут не содержать какого либо из элементов {a, b, c}, но их также можно представить в виде (2.21), положив соответствующие показатели степени равными нулю.

2. Единичный элемент e также можно представить в виде (2.21), положив все показатели степени равными нулю.

Вывод. Подгруппа , порожденная элементами множества, состоит из произведений степеней образующих элементов вида (2.20).

Сформулируем этот вывод в виде следующего утверждения.

Утверждение. Минимальная подгруппа группы G совпадает с множеством T, состоящим из единичного элемента e и всевозможных произведений:

, (2.22)

где: либо , либо.

Доказательство. Если ,следовательнои если то множество T является подгруппой в G. С другой стороны, каждая подгруппа H, содержащая все , должна содержать все их обратныеи, стало быть, все их произведения вида. Поэтомуи T совпадает с пересечением всех этих подгрупп.

Замечание. Далеко не все произведения будут различными элементами подгруппы , даже если условиться заменять все встречающиеся пары,взаимно обратных элементов единичным элементом. В общем случае привопрос о равенстве произведений достаточно сложен.

Определение. Если подгруппа , порожденная элементами множества S, совпадает со всей группой G, то элементы множества S называютсясистемой образующих элементов группы .

Определение. Если множество S конечно, то группа , порожденная множеством S, называется конечнопорожденной группой.

Утверждение. Каждая группа G порождается какой-нибудь системой образующих S.

Доказательство. Пусть G – группа, порождённая конечным множеством S своих элементов. Удаляя из S "лишние" элементы, которые записываются в виде произведения оставшихся и их обратных, мы придем к минимальной системе образующих группы G, где. Это означает, что, но, если система образующихполучена изудалением хотя бы одного элемента. Пусть. Тогда вместопишут также.

Пример 1. Пусть G – аддитивная группа целых чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если:

1. , 2. , 3. , 4. , 5. .

Решение. 1. Если S={2}, то ;

1. Если S={4, 6}, то . Ясно, что все элементы подгруппычетные т.к. общий элемент этой подгруппы можно представить в виде четного числа. Естественно, возникает вопрос, все ли четные числа содержатся в данной подгруппе? Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, принадлежит ли число два этой подгруппе. Если число два принадлежит подгруппе , то и все его степени (т.е. четные числа) принадлежат этой подгруппе.. ПустьТогда имеем, следовательно,и подгруппабудет содержать все элементы, порожденные числом два, т.е. все четные числа.

2. Если S={0}, тогда

3. Если S={1}, то

4. Если S={–1}, то

Пример 2. Пусть G – мультипликативная группа положительных вещественных чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если: 1., 2..

Решение. 1. Если , то;

2. Если S={1}, то

Пример 3. Пусть – аддитивная группа рациональных чисел. Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством.

Решение. В минимальную подгруппу должны входить все целые кратные рационального числа. Кроме того, подгруппепринадлежит любое целое число четвертых, восьмых и т.д. Следовательно, эта подгруппа содержит все дроби, в знаменатель которых не входят никакие простые числа, кроме 2 (т.е. в знаменателе могут стоять лишь степени числа 2). Но такие дроби образуют подгруппу, содержащую все заданные числа. Следовательно, минимальная подгруппасостоит из дробей, знаменателями которых служит степень числа 2.