Абстрактные группы и их свойства

Мы определили понятие группы как некоторой алгебраической структуры , для которой выполняются следующие три аксиомы группы:

1. Ассоциативность

;

2. Существование единичного элемента

;

3. Существование обратного элемента

.

Приведенная система аксиом не единственна. В монографии М. Холла [1] приведены, кроме данной, еще две системы аксиом группы. Более того, можно показать, что приведенная система аксиом избыточна. Можно ослабить требования 2, 3, заменив их одной из следующих пар (проверить!):

2'. (левая единица);

3'. , т.е.(правый обратный);

2". (правая единица);

3'., т.е. (левый обратный).

В общем случае для любой группы вследствие замкнутости групповой операции выполняется условие:

, но .

В частном случае, если  коммутативна,

т.е. ,

то говорят, что –коммутативная или абелева группа.

Замечание1. В тех случаях, когда множество и групповая операция заданы явно, а аксиомы группы выполнены, то говорят о конкретной группе, например, об аддитивной абелевой группе целых чисел или мультипликативной группе положительных рациональных чисел.

При этом, если мы занимаемся конкретной алгебраической структурой, т.е. если задано конкретное множество и конкретная операция, то необходимо доказать, что эта конкретная структура является группой, а после зтого доказательство того или иного утверждения сводится к применению общей теории групп к данному конкретному примеру.

Замечание2.Если же речь идет о выполнении лишь аксиом группы, то группу называют абстрактной.

В теории абстрактных групп придерживаются двух правил:

• не говорить, что такое элемент группы;

• не говорить, что такое групповая операция.

Для абстрактных групп необходимо доказывать утверждения, выполняющиеся во всех конкретных случаях.

Обобщенная ассоциативность

Пусть - произвольная группа с бинарной алгебраической операцией «», которую ради простоты рассуждений мы будем называть умножением, записывая вместо.

Пусть, далее, – упорядоченная последовательность элементов из. Не меняя порядка, мы можем путём расстановки различными способами скобок составлять произведения элементов издлины.

Пусть – число таких способов:

;

;

; ,; и т.д.

Очевидно, что перебирая всевозможные произведения длини (),, а затем объединяя их нашей бинарной алгебраической операцией умножения, мы исчерпаем всевозможности.

Если бинарная алгебраическая операция умножения на ассоциативна, то результат её последовательного применения к n элементам множестване зависит от расстановки скобок. Это означает, что в моноидах, полугруппах и группах произведение элементов не зависит от расстановки скобок.

Теорема. В любой группе произведениеэлементов не зависит от расстановки скобок.

Доказательство. Пусть , тогда последовательность произведений этих элементов принадлежит группе, т.е.. Теорема будет доказана, если мы покажем, что для любого n результат произведениеэлементов группыне зависит от расстановки скобок внутри этой последовательности.

При доказывать нечего.

При утверждение теоремы совпадает с законом ассоциативности.

Далее рассуждаем индукцией по .

Предположим, что и для числа элементовсправедливость теоремы установлена. Нам нужно лишь показать, что

(1)

при любых .

Здесь выписаны только внешние пары скобок, поскольку, по предположению индукции, расстановка внутренних скобок несущественна.

В частности, произведение

(2)

называется левонормированным.

Покажем, что левую часть равенства (1) мы можем привести к виду (2) для произвольного .

Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Тогда (1) можно представить в виде

т.е. левонормированное произведение;

2. Пусть . Тогда левую часть равенства (1) представим в виде:

.

Используя свойство ассоциативности трех элементов, имеем

,

т.е. снова левонормированное произведение. К такому же виду приводится и правая часть равенства (1).

Замечание. Из обобщенной ассоциативности следует, что в любой конкретной группе групповая операция ассоциативна.

Важно другое – утверждение об обобщенной ассоциативности верно не само по себе, а является закономерным следствием ассоциативности трех сомножителей.

Для сокращенной записи произведения элементов мы будем использовать знак кратного произведения, т.е.

(3)

Если G - аддитивная группа, т.е. , то

(4)