3. Рациональные числа, отличные от нуля ,

образуют группу по умножению.

4.  Множество положительных рациональных чисел с операцией умножения .

Поскольку число, обратное положительному рациональному числу, также положительно и рационально, то положительные рациональные числа образуют группу по умножению.

5. Числа ис операцией умножения.

При умножении на результат совпадает со вторым сомножителем, а. Следовательно, умножение не выводит за пределы рассматриваемого множества чисел. Проверим, выполняется ли третья аксиома (выполнение остальных аксиом очевидно). Эта аксиома выполняется, т.к. каждый из элементовисовпадает с обратным.

Следовательно, группа по умножению.

6. Отрицательные рациональные числа с операцией умножения .

Так как произведение двух отрицательных рациональных чисел – число положительное, то множество отрицательных рациональных чисел не замкнуто относительно операции умножения, и умножение не является групповой операцией. Следовательно, отрицательные рациональные числа не образуют группу по умножению.

7. Один лишь нуль , групповая операция умножение.

Так как , то умножение не выводит за пределы данного множества. В роли единичного элемента выступает нуль, т.к.. Обратным элементом 0 является 0 , т.к..

Следовательно, число 0 образует группу по умножению.

Рассмотрим теперь в качестве групповой операции операцию сложения чисел “+”.

Прежде чем рассмотреть частные случаи, установим некоторые общие свойства операции “+”;

• об ассоциативности можно не заботиться, т.к. на множестве чисел сложение всегда ассоциативно;

• единицей относительно сложения может быть такой элемент е, что для любых а выполняется условие . Это условие выполняется лишь для нуля.Вывод: необходимо каждый раз проверять, принадлежит ли нуль рассматриваемому множеству чисел;

• числом, ”обратным” числу , при сложении служит противоположное число, удовлетворяющее соотношению. Таким числом может быть только число.Поэтому достаточно проверить, содержит ли рассматриваемое множество чисел вместе с каждым принадлежащим числом то же число, взятое со знаком “минус”.

8. Целые числа . Сумма целых чисел – целое число, следовательно операция сложения не выводит за пределы рассматриваемого множества. Так как нуль – целое число, и любое целое со знаком минус – также целое число, то целые числа образуют группу по сложению.

9. Рациональные числа образуют группу по сложению.

10. Рациональные числа, отличные от нуля, не образуют группу по сложению.

11. Положительные рациональные числа не образуют группу по сложению, т.к. нуль не принадлежит рассматриваемому множеству.

12. Неотрицательные рациональные числа .

Нуль принадлежит данному множеству, но числа, обратные данным (со знаком “–”), не принадлежат рассматриваемому множеству. Следовательно, неотрицательные рациональные числа не образуют группу по сложению.

13. Множество не содержит нуль и не образует группу по сложению.

14. Число 0 образует группу по сложению.