Лекция 2

Определение. Подмножество полугруппыназываетсяподполугруппой, если .

В этом случае говорят, что подмножество замкнуто относительно операции полугруппы .

Определение. Если – моноид, а подмножествоне только замкнуто относительно операции, но и содержит единичный элемент, то называетсяподмоноидом.

Пример. пусть

–

множество целых чисел, делящихся на без остатка

. Тогда –коммутативный моноид.

1. Группы

Определение. Моноид , все элементы которого обратимы, называетсягруппой.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией *называется группой, если выполняются следующие аксиомы группы:

1. (ассоциативность);

2. (существование единичного элемента);

3. (существование обратного элемента).

Замечание. 1. Бинарная операция  называется групповой операцией, элементы множества – элементами группы, а аксиомы 1.– 3. при этом называются аксиомами группы.

Для группы вводится специальное обозначение , а для элементов группы.

Определение. Группа с коммутативной операцией называется коммутативной илиабелевой группой.

Пример.1. Множество целых чисел с операцией сложения является аддитивной абелевой группой целых чисел.

Действительно: множество замкнуто относительно операции сложения; существуют единичный элементи обратный (противоположный), т.е..

Замечание. Задание множества и групповой операции, т.е. , еще не гарантирует того, что мы получим группу. Каждый раз необходимо проверять выполнение всех аксиом группы.

Примеры. Определим, являются ли группами следующие множества с заданными операциями.

1. Множество целых чисел с операцией умножения.

В множестве целых чисел умножение всегда выполнимо, т.е. произведение любых двух целых чисел также является целым числом.

Т.к. , такой, что, но. Например, для числаневозможно указать такое целое число, которое удовлетворяет соотношению.

Следовательно, целые числа не образуют группу по умножению.

Замечание. Нетрудно заметить, что послужило препятствием к образованию группы: в множестве целых чисел деление выполнимо не во всех случаях. Следовательно, следует рассматривать лишь такие множества чисел, в которых деление всегда выполнимо. «Деление» следует понимать, как .

2. Множество рациональных чисел

,

с групповой операцией умножения .

Поскольку произведение двух рациональных чисел – число рациональное, то обычное умножение не выводит за пределы множества рациональных чисел. Проверим, все ли аксиомы группы выполняются:

умножение ассоциативно;

единица - рациональное число;

проверим, существует ли обратный элемент.

Если рациональное число (дробь) умножить на обратное число, то получится 1.

Возникает вопрос: для всякого ли рационального числа имеется обратное?

Единственное исключение составляет «нуль». Причина “ущербности” нуля состоит в том, что при умножении его на любое число всегда получается нуль, но не единица. Следовательно, обратный элемент существует не для всех рациональных чисел.

Поэтому рациональные числа не образуют группу по умножению.