Лекция 1 Декартово произведение множеств

Пусть даны два множества X и Y, совпадающие или нет.

Определение. Множество упорядоченных пар элементов, из которых первый принадлежит X, а второй Y, называется декартовым произведением множеств и обозначается .

.

Пример. Пусть ,, тогда

.

Если ,, тогда.

Пример. Пусть , где R – множество всех вещественных чисел. Тогдаесть множество всех декартовых координат точек плоскости.

Пример. Пусть – некоторое семейство множеств, тогда декартовым произведением этих множеств называется множество всех упорядоченных строк длины n:

.

Если , то. Элементы из – это векторы-строки длины n.

Алгебраические структуры с одной бинарной операцией

1 Бинарные алгебраические операции

Пусть – произвольное конечное или бесконечное множество.

Определение. Бинарной алгебраической операцией (внутренним законом композиции) на называется произвольное, но фиксированное отображение декартова квадратав, т.е.

(1)

или

(2)

Таким образом, любой упорядоченной паре ставится в соответствие элемент. Тот факт, что, записывается символически в виде.

Как правило, бинарные операции обозначаются символами и т.д. Как и ранее, операцияозначает «сложение», а операция «» – «умножение». Они различаются формой записи и, возможно, аксиомами, что будет ясно из контекста. Выражение будем называть произведением, а– суммой элементови.

Определение. Множество называется замкнутым относительно операции, если для любых .

Пример. Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел . В качестве бинарных операций набудем рассматривать обычные операции сложенияи умножения. Тогда множества ,будут замкнуты относительно этих операций.

Замечание. Как следует из определения, задание алгебраической операции * на , эквивалентно замкнутости множестваотносительно этой операции. Если оказывается, что множествоне замкнуто относительно заданной операции *, то в этом случае говорят, что операция * не алгебраическая. Например, операция вычитания на множестве натуральных чисел не алгебраическая.

Пусть идва множества.

Определение. Внешним законом композиции на множестве называется отображение

, (3)

т.е. закон, посредством которого любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент. Тот факт, что, обозначается символомили.

Пример. Умножение матрицы на числоявляется внешним законом композиции на множестве. Умножение чисел вможно рассматривать и как внутренний закон композиции, и как внешний.

Внешний закон композиции называется дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции * в , если

.

Внешний закон композиции называется дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции * в Y, если

.

Пример. Умножение матрицы на числодистрибутивно как относительно сложения матриц, так и относительно сложения чисел, т.к.,.

1. Свойства бинарных операций

Бинарная алгебраическая операция  на множестве называется:

• коммутативной, если ;

• ассоциативной, если .

Замечание. Свойства коммутативности и ассоциативности независимы.

Пример. Рассмотрим множество целых чисел . Операцию на определим в соответствии с правилом. Выберем числаи выполним операцию над этими числами:

: а

т.е. операция  коммутативна, но не ассоциативна.

Пример. Рассмотрим множество – квадратных матриц размерности с вещественными коэффициентами. В качестве бинарной операции * набудем рассматривать операции умножения матриц. Пусть, тогда, однако, т.е. операция умножения на множестве квадратных матриц ассоциативна, но не коммутативна.

Определение. Элемент называетсяединичным или нейтральным относительно рассматриваемой операции  на , если

. (4)

Лемма. Если – единичный элемент множества, замкнутого относительно операции *, то он единственный.

Доказательство. Пусть – единичный элемент множества, замкнутого относительно операции *. Предположим, что всуществует ещё один единичный элемент, тогда, так как– единичный элемент, и, так как– единичный элемент. Следовательно,– единственный единичный элемент множества.

Определение. Элемент называетсяобратным или симметричным к элементу , если

. (5)

Пример. Рассмотрим множество целых чисел с операцией сложения. Элемент, тогда симметричным элементомбудет элемент. Действительно,.