Индивидуальные задания

Необходимо:

1.Построить таблицу Кэли для группы

2.Для каждого элемента группы найти обратный элемент.

3.Проверить является ли группа абелевой?

4.Проверить является ли группа циклической?

И,если да,

то необходимо найти все образующие элементы группы ;.

если нет, то необходимо найти все минимальные системы образующих группы .

2.7 Симметрическая группа

Пусть X – конечное множество из n элементов, т.е. . Поскольку мы договорились не говорить, что из себя представляют элементы множества X, то пусть.

Рассмотрим биективное отображение множества X в X. Обозначим– множество всех биективных отображений X в X.

Покажем, что – группа. Она называется симметрической группой или группой перестановок.

Определение. Биективное отображение  конечного множества Х в Х называется перестановкой (подстановкой).

Чтобы задать перестановку  необходимо:

• задать конечное множества X, которое будет называться областью определения перестановки ;

• задать алгоритм перестановки, т.е. для каждого элемента i из области определения перестановки необходимо указать тот элемент , в который он переходит под действием перестановки, причем так, чтобы различные элементы при перестановке переходили в различные.

Обычно перестановка  изображается в виде следующей таблицы

, (2.25)

состоящей из области определения перестановки (прообразов) – верхняя строка, и области значений (образов)перестановки – нижняя строка, или

, (2.26)

где – переставленные соответствующим образом символы. Еслиn – фиксировано, то часто в записи перестановки используется только последняя строка, которая однозначно определяет перестановку.

Пример. Для обозначения перестановок используются символы ,,,... . Пусть , тогда перестановкупредставим в виде:

.

Замечание. Сама перестановка  не зависит от того, в какой последовательности выписаны пары, т.е.

.

Определение. Две подстановки называются равными, если их области определения совпадают, и каждый элемент их общей области определения они переводят в один и тот же элемент области значений.

Определение. Перестановка e называется единичной, если под действием ее все элементы множества  переходят сами в себя.

.

Операции на перестановках. На множестве всех перестановок можно задать операцию, называемую умножением такую, что. Эту операцию определим в соответствии с общим правилом композиции отображений:

Пример. Пусть

, тогда

Вывод: т.е. операция умножения перестановок не коммутативна.

Замечание. Ассоциативность операции умножения перестановок выполняется – это означает, что если .

Определение. Перестановка называется обратной к перестановке, если .

Определим алгоритм получения обратной перестановки.

. (2.27)

Таким образом, для получения обратной перестановки достаточно заменить местами области определения и области значения, т.е. поменять строки в перестановке.

Пример. Найдем перестановку – обратную к перестановке:

.

Очевидно, что в данном случае , следовательно, обратная перестановка получена правильно.

Порядок группы S_n. Пусть . Перестановкой– первый элемент можно перевести в любой другой элемент и для этого существует ровно n различных возможностей. Но, зафиксировав, второй элемент перестановкоймы можем перевести в любой изn–1 оставшихся. Общее число выборов иравно , для –, а дляостается только один свободный элемент, следовательно, количество различных перестановок, а, следовательно, и количество элементов в группе, равно.