КУРС АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ / ЛЕКЦИИ АиГ / ЛЕКЦИЯ 15

ЛЕКЦИЯ 15

Наибольший общий делитель многочленов

Теорема. Для любой пары ненулевых многочленов существует наибольший общий делитель.

Он определен однозначно с точностью до множителя нулевой степени.

Приведем описание алгоритма построения НОДº(,), называемого алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления. Он состоит в следующем.

Выполним цепочку делений с остатком:

=

=

=

……………………………………….. (1)

=

=

=

Степени остатков понижаются, поэтому процесс оборвется в тот момент, когда деление выполнится нацело.

Пусть - последний отличный от нуля остаток.

Можно показать, что

= НОДº(,).

Действительно, просмотр равенств (1) снизу вверх показывает, что является делителем , т.е. общим делителем и .

Просмотр равенств (1) сверху вниз показывает, что все остатки делятся на любой общий делитель и .

Докажем вторую часть теоремы.

Предположим, что существуют два НОД

= НОДº(,),

= НОДº(,).

Тогда, согласно определению НОДº(,),

и, с учетом правила

=+,

имеем

и многочлены и отличаются лишь множителем нулевой степени и, следовательно, наше предположение неверно.

Пример. Пусть заданы два многочлена :

Требуется найти НОДº(,). Алгоритм поиска НОДº(,):

Шаг первый.

-

Шаг второй.

-

Шаг третий.

-

Шаг четвертый

-

Следовательно, НОДº(,) является многочлен.

.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Для заданных двух многочленов

ПМ

СА

необходимо найти:

1.Сумму многочленов

.

2.Произведение многочленов

3. НОД (,)