6. Свойства факторгрупп

Докажем несколько теорем о простейших свойствах факторгрупп.

Теорема 1. Каждая факторгруппа абелевой группы G – абелева.

Доказательство. Если G – абелева группа, то

Теорема 2. Каждая факторгруппа циклической группы G также циклическая.

Доказательство. Пусть G – циклическая группа, порожденная элементом , H – некоторая подгруппа группы G и– произвольно выбранный элемент факторгруппы.

Тогда существует такое целое число , чтои поэтому

Следовательно, .

Теорема 3. Порядок любой факторгруппы конечной группыпорядкаявляется делителем порядка этой группы.

Доказательство. Действительно, порядок факторгруппы равен индексу нормального делителя H в группе G:

,

т.е. делит, где,.