5. Факторгруппа

Значение нормального делителя в теории групп основано на том, что из смежных классов по нормальному делителю может быть построена новая группа. Для построения такой группы определим операцию умножения на множестве смежных классов. Пусть , тогда

(16)

Действительно, для

Пусть H – нормальный делитель группы G. В этом случае произведение двух смежных классов G по H будет смежным классом по H. Действительно, имеем:

(17)

Таким образом, в множестве всех смежных классов по нормальному делителю определена операция умножения. Это означает, что фактормножество

. (18)

является замкнутым относительно операции умножения смежных классов, а операция умножения смежных классов является алгебраической.

Равенство (17) показывает, что для нахождения произведения двух данных смежных классов группы G по нормальному делителю H надо в каждом из этих классов выбрать по одному представителю и потом взять тот смежный класс, к которому принадлежит произведение выбранных представителей.

В случае если – абелева группа, бинарная операция на фактормножествевводится соотношением

.

Факторгруппу часто называют группойпо модулю.

Теорема. Фактормножество смежных классов группы G по нормальному делителю H с определенной в нем операцией умножения является группой. Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальному делителю H и обозначается символом.

Доказательство. Для доказательства покажем, что в будут выполнены все аксиомы группы:

• ассоциативность умножения смежных классов следует из ассоциативности умножения подмножеств группы;

• роль единицы играет сама подгруппа – нормальный делитель:

• для смежного класса обратным является классдействительно:

Выводы. Со всякой группой G связан целый набор новых групп – ее факторгрупп [G/H, ] по различным нормальным делителям.

Примеры. 1. Пусть – аддитивная группа целых чисел, а– подгруппа целых чисел, делящихся на m без остатка. Подгруппа– нормальный делитель так как– подгруппа аддитивной группы.

Факторгруппа состоит из смежных классов– классов вычетов по модулю:

Класс вычетов

Пусть , тогда таблица Кэли для факторгруппыимеет вид:

+	[0]5	[1]5	[2]5	[3]5	[4]5
[0]5	[0]5	[1]5	[2]5	[3]5	[4]5
[1]5	[1]5	[2]5	[3]5	[4]5	[0]5
[2]5	[2]5	[3]5	[4]5	[0]5	[1]5
[3]5	[3]5	[4]5	[0]5	[1]5	[2]5
[4]5	[4]5	[0]5	[1]5	[2]5	[4]5

Выводы: 

1. Факторгруппа коммутативна – таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали.

2. Факторгруппа циклическая группа. Система образующих состоит из одного элемента – смежного класса, а все остальные смежные классы совпадают с его степенями.

3. Пусть – мультипликативная группа невырожденных матриц-го порядка с вещественными коэффициентами, а– нормальный делитель этой группы, который состоит из матриц, детерминант каждой из которых равен единице. Факторгруппасостоит из смежных классов, каждый из которых содержит все матрицы, детерминант которых равен данному числу.