4. Нормальные делители

Пусть G – произвольная группа, а H – подгруппа группы G, тогда, если то мы получаем два левых смежных классаи.

Мы хотим выяснить условия, при которых произведение элементов, взятых из смежных классов и, не зависит от выбора представителей классов и всегда принадлежит одному и тому же смежному классу, что и произведение элементов, а именно классу.

Элемент принадлежит смежному классу, а элемент– смежному классу.

Произвольные элементы, принадлежащие, соответственно, смежным классам иможно представить в виде:

Тогда их произведение должно принадлежать классу.

Это означает, что в подгруппе H,

Умножая почленно полученное равенство слева на , имеем:

(9)

где

Соотношение (9) позволяет сделать следующий вывод. Так как элементы выбраны произвольно, то для любого элементаи любого элементасуществует элемент, удовлетворяющий соотношению (9). Кроме того, элемента элемент. В силу этого каждый левый смежный класс группы G по H содержится в некотором правом смежном классе группы G по той же подгруппе H:

Аналогично можно показать и обратное включение

а это будет означать, что

(10)

Определение 1. Подгруппа H группы G называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой, если для любых двух смежных классов g₁H и g₂H по подгруппе H, произведение произвольных элементовиз этих классов, принадлежит одному и тому же смежному классу(рис. 2).

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы , если:

(11)

В коммутативных группах всякая подгруппа является нормальным делителем (в силу коммутативности операции сложения).

Для практического использования понятия нормального делителя рассмотрим еще несколько более «конструктивных в обращении» определений.

Рис. 2 – Подгруппа H – нормальный делитель группы G.

Определение 2. Подгруппа H группы G является нормальным делителем группы G в том и только том случае, если каждый левый смежный класс совпадает с правым смежным классомгруппы G по H и наоборот.

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы G, если:

(12)

Условие (12), очевидно, означает, что:

Примеры. 

1. В любой группе G сама группа и единичная подгруппаявляются ее нормальными делителями:левый и правый смежные классы группы G по подгруппе состоит из одного смежного класса , а левый (правый) смежные классы по единичной подгруппе H состоят из всех элементов группы G.

 

2. В каждой абелевой группе G каждая ее подгруппа H является нормальным делителем.

3. Мультипликативная группа положительных вещественных чисел является нормальным делителем мультипликативной группы всех отличных от нуля вещественных чисел,

4. Мультипликативная группа отличных от нуля рациональных чисел является нормальным делителем мультипликативной группы отличных от нуля вещественных чисел

5. В мультипликативной группе невырожденных матриц-го порядка с вещественными коэффициентами подгруппаматриц с определителем равным единице:

является нормальным делителем этой группы.

Действительно, единичная матрица , есликроме того

Далее, если то

и – соответственно, левый и правый смежные классы группыпо.

Если , т.е., то, т.е..

С другой стороны, если , топосколькупоэтому

Следовательно, сгруппировав в один смежный класс (левый или правый) все матрицы с равными детерминантами, получим разложение группы по подгруппе_. Этот пример показывает, что и в некоммутативных группах могут быть подгруппы – нормальные делители, для которых левый смежный класс совпадает с правым смежным классом

Пусть

Определение. Элементы называютсясопряженными, если

(13)

а элемент h получается из трансформированием элемента

(14)

Определение 3. Подгруппа H группы G является нормальным делителем группы G в том и только том случае, если для любого элемента g группы G вместе со всяким своим элементом она содержит и сопряженный ему элемент

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы G, если:

. (15)

Используя это определение, легко доказать следующую теорему.

Теорема. Пересечение любого семействанормальных делителей группы G является нормальным делителем этой группы.

Доказательство. Пусть – пересечение некоторого семействанормальных делителей группы G. Как было доказано ранее, пересечение подгруппгруппы G, есть подгруппа группы G.

Если то h принадлежит всем нормальным делителямПоэтому каждый элементсопряженный с элементом h, также принадлежит каждой из подгруппа следовательно, он принадлежит и их пересечению

Понятие сопряженного элемента для подгруппы H, являющейся нормальным делителем группы G, позволяет дать изящное доказательство и следующей теореме.

Теорема. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем в группе G.

Доказательство. Пусть – произвольный, но фиксированный элемент группы G.

Тогда найдем сопряженный ему элемент .

Необходимо показать, что он так же принадлежит . Действительно, так как– изоморфизм, то

Это означает, что подгруппа группы G содержит вместе со всяким своим элементоми сопряженные ему элементи, следовательно,является нормальным делителем в G.