3. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.

Множество всех левых смежных классов группы G по подгруппе H называется фактормножеством группы G по подгруппе H и обозначается (иногдаи– соответственно для левых и правых смежных классов).

Таким образом

. (3)

Мощность множества -называетсяиндексом подгруппы H в группе G.

Индекс подгруппы H в группе G обозначается

. (4)

В этих обозначениях – означает число левых смежных классов группыпо единичной подгруппе, т.е.

. (5)

Учитывая, что , получаем

. (6)

В других обозначениях.

Пусть – порядок конечной группы;

–порядок подгруппы ;

–индекс подгруппы в группе.

Тогда

. (7)

Для конечных групп из (7) можно выразить индекс

. (8)

Из выражений (7), (8) следует классическая

Теорема Лагранжа. Порядок конечной группыделится на порядоккаждой своей подгруппы.

Следствие. 

1. Порядок любого элемента делит порядок группы.

2. Группа простого порядка p всегда циклическая и, с точностью до изоморфизма, единственная.

Доказательство. 

Так как порядок любого элемента совпадает с порядком ее циклической подгруппы, образованной этим элементом,

,

то, как и ранее, обозначая

–порядок конечной группы,

–порядок подгруппы ,

–индекс подгруппы в группе, приходим к (6), т.е.

.

Пусть – простое число, а– неединичная подгруппа. Тогда делимостьна |H| означает, что

,

т.е. совпадает с циклической подгруппой, порожденной элементом, а все циклические группы конечного (данного) порядка изоморфны. Это позволяет говорить о единственности.

Замечание. Теорема Лагранжа утверждает, что если , a, то

,

т.е. порядок любой подгруппы H группы G делит N – порядок группы G.

Естественно, возникает вопрос об обратной теореме: если m является делителем , то существует ли в группе G подгруппа H порядка m?

Другими словами: существует ли для каждого делителя m порядка группы N подгруппы H группы G порядка m?

В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых частных случаях такое обращение теоремы Лагранжа справедливо.

Теорема. (обращение теоремы Лагранжа)

1. Всякая подгруппа циклической группы есть снова циклическая группа.

2. Подгруппы бесконечной циклической группы исчерпываются бесконечными группами.

3. Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителямичисла.

Доказательство. 

Докажем 1. Пусть – произвольная циклическая группа порядка. Для определенности будем предполагать, что– аддитивная группа.

В этом случае общий элемент группы имеет вид

.

Пусть – произвольная неединичная подгруппа группы, т.е..

Так как , то элементами подгруппыявляются элементы вида, но если.

Среди всех элементов вида , выберем элемент

, где – наименьшее положительное число.

Тогда любое можно представить в виде:

.

Из того, что

,

но m – наименьшее число, удовлетворяющее условию

mgH  r = 0  H =<mg>,

т.е. Н – циклическая группа с образующим элементом mg.

Докажем 2.  Подгруппы бесконечной циклической группы исчерпываются бесконечными группами.

Действительно,так как – циклическая группа с образующим элементом 1 или, т.е.

,

то, в соответствии с пунктом 1 данной теоремы, любая подгруппа H циклической группы определяется натуральным числоми имеет вид

,

причем все эти подгруппы бесконечны.

Докажем 3. Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителямичисла.

Пусть, как и ранее, – аддитивная циклическая группа порядка, т.е.

.

Если , причем, если элемент

.

Нам надо доказать, что делит.

Действительно, представим

.

Тогда из того, что

,

а минимальность влечет, следовательно.

Таким образом, из того, что , следует, что подгруппаимеет порядок, т.е.

.

Когда пробегает по всем положительным делителям числа, то же самое делает и, и мы получаем ровно по одной подгруппе порядка, делящего.

Следствие. В циклической группе порядкаподгруппапорядкасовпадает с множеством элементов, таких, что.

Доказательство. Элементы циклической группе порядкаимеют вид

Если , тои.

Обратно, пусть и.

Из условия следует, что, откудаи.