nummethod_book_chapter4-1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(K10 + 2K20 + 2K30 + K40 ) =

(0 + 2 * 0.00025 + 2 * 0.000251251 + 0.001005031) = 0.000334588

и значение функции в первом узле

= y0 + ∆y0

= 0 +0.000334588 = 0.000334588 ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

771.76 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

www.uchites.ru

K1k = hf (xk , yk , zk )

= hg(x

, y

, z

)

K k

= hf (x

h, y

K k , z

Lk )

= hg(x

h, y

K k

, z

Lk )

K3k = hf (xk

h, yk

K2k , zk

Lk2 )

= hg(x

h, y

K k

, z

Lk )

K k

= hf (x

+ h, y

+ K k , z

+ Lk )

= hg(x

+ h, y

+ K k , z

+ Lk )

Контроль правильности выбора шага h в случае использования метода Рунге-

Кутты четвертого порядка точности для системы (4.15) может быть организован с помощью вычисления на каждом шаге h параметров

θ1k	=	K k − K k
		2	3	;
		K1k − K2k		;
		K1k − K2k		(4.17)
θ k	=	Lk	− Lk	(4.17)
		Lk	− Lk
		2	3
		Lk	− Lk
2		Lk	− Lk
		1	2

Если величины θ k (i=1,2)		порядка нескольких сотых единицы, то расчет
	i
продолжается с тем	же шагом,	если	больше одной десятой, то шаг следует
уменьшить, если же	меньше одной сотой, то шаг можно увеличить

Решение задачи Коши для ОДУ второго и более высокого порядков.

Задача Коши для ОДУ n – го порядка ставится следующим образом

y(n) = f (x, y, y', y'',......., y(n−1) )

www.uchites.ru

y(x0 ) = y0 y' (x0 ) = y01

y' '(x0 ) = y02			,	(4.18)
.....................
y(n−1) (x0 ) = y0(n−1)
здесь	y(m) =	d m y	производная m порядка от решения, m=1,2,…,n .
		dxm

Основной прием используемый при решении задач типа (4.8) заключается в введении новых переменных и сведении задачи (4.8) для ОДУ высокого порядка к решению системы ОДУ первого порядка (4.13).

Введем новые переменные

z1 = y' z2 = y''

...........

zn−1 = y(n−1)

тогда задачу (4.8) можно переписать в виде системы n ОДУ первого порядка.

y' = z1

z1' = z2
	'
z2 = z3
...........

z'		= z	n−1
	n−2		n−1
	'	= f (x, y, z1 ,...., zn−1 )
zn−1		= f (x, y, z1 ,...., zn−1 )
y(x0 ) = y0
z1 (x0 ) = y01
z2 (x0 ) = y02				(4.19)
.....................

zn−1 (x0 ) = y0(n−1)

www.uchites.ru
Полученная система, состоящая из n ОДУ	первого	порядка	с
соответствующими начальными условиями решается любым из описанных методов.
Пусть необходимо решить задачу Коши для ОДУ второго порядка:
y' ' = f (x, y, y' )
y(x0 ) = y0
y'(x0 ) = y01		(4.20)

Путем введения замены z = y' , сведем (4.18) к системе
y' = z

	= f (x, y, z)
z'

	y(x0 ) = y0	(4.21)
	z(x0 ) = y01	(4.21)
	z(x0 ) = y01
	, которую можно решить, например, с использованием метода (4.16).

Пример 4.1 Явным методом Эйлера с шагом h=0.1 получить численное решение дифференциального уравнения y' = ( y + x)2 с начальными условиями y(0) = 0 на

интервале [0, 0.5] . Численное решение сравнить с точным решением y = tan( x) − x .

Р е ш е н и е
Итак, исходя из начальной точки x0									= 0 ,		y0 = 0 рассчитаем значение y1 в узле
x =0.1 по формулам (4.2) y = y			0		+ hf (x	0	, y	0	) = 0 + 0.1(0 + 0)2				= 0 . Аналогично получим
1	1		0			0		0
решение в следующем	узле	x		2	=0.2;				y	2	= y	+ hf (x , y ) = 0 +0.1(0 +0.1)2 = 0.001 .
				2						2	1	1	1
													13

www.uchites.ru

Продолжим вычисления и, введя обозначения ∆yk = hf (x0 , y0 ) и εk = yист (xk ) − yk , где

yист(xk ) - точное решение в узловых точках, получаемые результаты занесем в таблицу.

Таблица 4.1

k	x	y	∆yk	yист	εk
0	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.0000

1	0.100000000	0.000000000	0.001000000	0.000334672	0.3347E-03

2	0.200000000	0.001000000	0.004040100	0.002710036	0.1710E-02

3	0.300000000	0.005040100	0.009304946	0.009336250	0.4296E-02

4	0.400000000	0.014345046	0.017168182	0.022793219	0.8448E-02

5	0.500000000	0.031513228		0.046302490	0.1479E-01

Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)

Таблица 4.2

k	0	1	2	3	4	5

xk	0.0000	0.1000	0.2000	0.30000	0.4000	0.5000
	0		00	00	00	00

yk	0.0000	0.000	0.0010	0.00504	0.0143	0.03151
	0		00	01	45	3

Пример 4.2. Решить задачу из примера 4.1 методом Эйлера-Коши (4.4).

Р е ш е н и е

www.uchites.ru
			Исходя из начальных значений x0 = 0 , y0										= 0 , рассчитаем значение y1 в узле
	x1 =0.1 по формулам (4.4)
~				+ hf (x0 , y0 ) = 0				+ 0.1(0 + 0)	2	= 0 .
		y1 = y0		+ hf (x0 , y0 ) = 0				+ 0.1(0 + 0)		= 0 .
		~				2	= 0.01
		f (x1 , y1 ) = (0 +0.1)					= 0.01
	y1							~			+0.5 * 0.1* (0 +0.01) = 0.0005
	y1		= y0 +0.5h( f (x0 , y0 ) + f (x1 , y1 )) = 0								+0.5 * 0.1* (0 +0.01) = 0.0005
			Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и
											~
	вводя обозначение ∆yk = 0.5h( f (xk , yk ) + f (xk +1 , yk +1 )) получаемые результаты занесем
	в таблицу.
	Таблица 4.3
	k		xk		yk			~				∆yk		yист	εk
								~
								yk
	0		0.0		0.0000000							0.0005000		0.0000000	0.0000000
					00							00		00	00

	1		0.1		0.0005000			0.00000				0.0025353		0.00033467	0.1653E-03
					00							27		2

	2		0.2		0.0030353			1.510025E-				0.0067784		0.00271003	0.3253E-
					27			003				59		6	03

	3		0.3		0.0098137			7.157661E-				0.01359456		0.00933625	0.4775E-03
					86			003				1		0

	4		0.4		0.0234083			1.941224E-				0.02361595		0.02279321	0.6151E-03
					46			002				4		9

	5		0.5		0.0470243			4.133581E-						0.04630249	0.7218E-03
					01			002						0

Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)

Таблица 4.4

www.uchites.ru

k	0	1	2	3	4	5

xk	0.00000	0.10000	0.20000	0.30000	0.40000	0.5000
		0	00	00	00	00

yk	0.00000	0.00050	0.00303	0.009813	0.02340	0.0470
		0	53	8	83	24

Пример 4.3. Решить задачу из примера 4.1 первым улучшенным методом Эйлера

(4.7).

Р е ш е н и е

Стартуем из начальной точки x0

= 0 , y0 = 0 и рассчитаем значение y1 / 2 в узле

x1 / 2 = x0

+ h / 2 =0.05 по формулам (4.4)

= y

f (x

, y

) = 0 +

0.1

(0 +0)2 = 0

. Затем определим величину правой части

1 / 2

(величину производной от решения) в середине интервала [x0 , x1 ]

f (x

, y

1 / 2

) = (0 + 0.05)2 = 0.0025 . Окончательно рассчитаем значение функции в

1 / 2

узлеx1

y1 = y0

+ hf (x1 / 2 , y1 / 2 ) = 0 +0.1* 0.0025 = 0.00025 .

Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и вводя обозначение ∆yk = hf (xk +1/ 2 , yk +1/ 2 ) , получаемые результаты занесем в таблицу.

Таблица 4.5

k	xk	yk	yk +1 / 2	∆yk	yист	εk
0	0.0	0.0000000	0.00000000	0.0002500	0.0000000	0.0000000
		00	0	00	00	00

1	0.1	0.0002500	0.00075250	0.0022726	0.00033467	0.8467E-
		00	31	32	2	04

2	0.2	0.0025226	0.00457340	0.0064807	0.00271003	0.1874E-03

www.uchites.ru

		32	25	62	6

3	0.3	0.0090033	0.013777548	0.01323341	0.00933625	0.3329E-
		93	3	0	0	03

4	0.4	0.0222368	0.031150999	0.02315062	0.02279321	0.5564E-
		04	8	8	9	03

5	0.5	0.0453874			0.04630249	0.9151E-03
		32			0

Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)

Таблица 4.6

k	0	1	2	3	4	5

xk	0.00000	0.10000	0.20000	0.30000	0.40000	0.5000
		0	00	00	00	00

yk	0.00000	0.00025	0.002522	0.00900	0.022236	0.0453
		0	6	33	8	87

Пример 4.4. Решить задачу из примера 4.1 методом Рунге-Кутты 4-го порядка

(4.10).

Р е ш е н и е

Вычислим значения вспомогательных величин K10 = hf (x0 , y0 ) = 0.1(0 + 0)2 = 0 ;

y01 = y0		+	1	K10 = 0 +				1	0 = 0
y01 = y0		+	2	K10 = 0 +			2		0 = 0
			2				2
K20	= hf (x0			+	1	h, y0	+		1		K10 ) = 0.1(0 +	1	* 0 +0 +		1	* 0.1)2		= 0.00025 ;
K20	= hf (x0			+	2	h, y0	+		2		K10 ) = 0.1(0 +	2	* 0 +0 +		2	* 0.1)2		= 0.00025 ;
					2				2			2			2
y02 = y0		+	1	K20 = 0 +				1		0.00025 = 0.000125
y02 = y0		+	2	K20 = 0 +			2			0.00025 = 0.000125
			2				2
K30	= hf (x0			+	1	h, y0	+		1		K20 ) = 0.1(0 +	1		* 0.00025 + 0 +			1	* 0.1)2 = 0.000251251 ;
K30	= hf (x0			+		h, y0	+		2		K20 ) = 0.1(0 +	2		* 0.00025 + 0 +			2	* 0.1)2 = 0.000251251 ;
					2				2			2					2

www.uchites.ru

y03 = y0 + K30 = 0 + 0.000251251 = 0.000251251

K40 = hf (x0 + h, y0 + K30 ) = 0.1(0 + 0.000251251 + 0 + 0.1)2 = 0.001005031 ;

Найдем приращение функции на первом интервале

Аналогично получим решение в остальных узлах.

Таблица 4.7

k/i	xk	yki	Kik	∆yk	θ k	yист	εk
0/	0.0	0.000000	0.000000			0.000000	0.00000
1		0	000				00

0/	0.05	0.000000	0.0002500
2		0	00

0/	0.05	0.0001250	0.0002512
3			52

0/	0.1	0.0002512	0.0010050	0.0003345	0.0050
4		5	31	89	06


1/1	0.1	0.0003345	0.0010067			0.0003346	0.8301E-
		89	03			7	07

1/	0.15	0.0008379	0.0022752
2		41	08

1/	0.15	0.0014721	0.0022943
3		93	83

1/	0.2	0.0026289	0.0041058	0.0023752	0.01511
4		72	50	89	6

www.uchites.ru

2/	0.2	0.0027098	0.0041091			0.0027100	0.1573E-
1		78	29			36	06

2/	0.25	0.0047644	0.0064904
2		43	92

2/	0.25	0.0059551	0.0065513
3		24	03

2/	0.3	0.0092611	0.0095642	0.0066261	0.0255
4		81	48	61	35


3/	0.3	0.0093360	0.0095688			0.0093362	0.2103E-
1		39	79			50	06

3/	0.35	0.0141204	0.0132583
2		79	72

3/	0.35	0.0159652	0.0133930
3		25	55

3/	0.4	0.0227290	0.0178699	0.0134569	0.0365
4		94	89	54	04


4/	0.4	0.0227929	0.0178753			0.0227932	0.2259E-
1		93	91			19	06

4/	0.45	0.0317306	0.0232064
2		89	46

4/	0.45	0.0343962	0.0234639
3		16	69

4/	0.5	0.0462569	0.0298396	0.0235093	0.0483
4		62	67	15	06


5	0.5	0.0463023				0.0463024	0.1823E-
		08				90	06

www.uchites.ru

Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)

Таблица 4.8

k	0	1	2	3	4	5

xk	0.0000	0.1000	0.200000	0.300000	0.400000	0.500000
	0			0

yk	0.0000	0.0003345	0.0027098	0.0093360	0.0227929	0.0463023
	0	89	78	39	93	08

Пример 4.5. На интервале [0,1] c шагом h=0.2 решить задачу Коши методом Рунге-Кутты 4 порядка.

(x2 +1) y′′ = 2xy′

y(0) =1

y′(0) = 3

Численное решение сравнить с аналитическим решением yист (x) = −x3 +3x +1.

Р е ш е н и е

Аналогично (4.18-4.21) введением новой переменной z = y′ решение исходной начальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений первого порядка.

y' = z

z' = 2xz+x2 1

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.20191.82 Mб14Navch_pos_ISvE.doc
#
01.05.20255.54 Mб0ND_Vsemirnaya_istoria_10-11_ukr.doc
#
23.11.2019244.22 Кб4net_tolko_4-5_voprosov.doc
#
01.04.20251.66 Mб1new methodic.doc
#
01.07.2025127.49 Кб0Nouns, some, any Cизонова С.Н. Вергун Т.И..doc
#
14.04.2015771.76 Кб18nummethod_book_chapter4-1.pdf
#
20.07.2019152.06 Кб2Num_Mat_Lesson_04.doc
#
20.07.2019109.06 Кб3Num_Mat_Lesson_05.doc
#
06.12.201856.83 Кб6Num_Mat_Lesson_16.doc
#
12.11.2019156.56 Кб3obrazcy_dokumenti_ukr_yaz.docx
#
17.08.201982.43 Кб6Ohrana_korotk.doc