Lektsia_05_new_MS_end
.pdf
|
|
|
|
|
|
20 |
3) R =1 соответствует |
σ |
2 = 0 и означает наличие чисто функциональ- |
||||
η |
|
|
|
η |
|
|
ной связи между η и ξ = (ξ1, ..., ξp ) : η = f (ξ1, ..., ξp ) . |
||||||
Определение показателя Rη |
в виде (5.31) и отмеченные свойства 1) – 3) |
|||||
справедливы при любом законе распределения вектора (η, ξ1, ..., ξp ) . |
||||||
Если же |
предположить, |
что исходные статистические данные |
||||
|
|
|
|
|||
(x1i, x2i , ..., xpi ) , yi |
, i = 1, n , могут интерпретироваться как выборка объема n |
|||||
из (p +1) -мерной генеральной совокупности, распределенной по нормаль-
ному закону с вектором средних значений |
μ = (μ0, μ1, ..., μp ) , |
где μ0 = Mη , |
||||||||
μi |
= Mξi |
и ковариационной матрицей Σ , то можно отметить дополнитель- |
||||||||
ные свойства показателя Rη и правила его вычисления. |
|
|||||||||
|
Прежде всего укажем на то, что в рассматриваемой ситуации условное |
|||||||||
математическое |
ожидание |
η |
при |
фиксированных |
значениях |
|||||
ξ1 |
= x1, ..., ξp = xp |
(т.е. функция регрессии f (x) ) является линейной функци- |
||||||||
ей |
переменных |
x1, ..., xp , а |
условная |
дисперсия D(η | ξ = x) |
не зависит |
|||||
x =(x |
, ..., x |
p |
) и имеет вид D(η | ξ = x ) = σ2(1 −R2 ) . |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
η |
η |
|
|
|
Последнее выражение – полная аналогия формулы (5.2), только роль |
|||||||||
коэффициента корреляции ρ играет множественный коэффициент корреля-
ции Rη .
Приведем без доказательства следующие дополнительные свойства показателя Rη в случае совместного нормального закона распределения
переменных η и ξ = (ξ1, ..., ξp ) . |
|
|
|
|
4) С помощью корреляционной матрицы P (5.27) показатель Rη |
можно |
|||
вычислить по формуле |
|
|
|
|
R = |
1 − |
det P |
, |
(5.32) |
|
||||
η |
|
P00 |
|
|
|
|
|
|
|
где det P – определитель матрицы P , а P00 |
– алгебраическое дополнение |
|||
21
элемента ρ00 =1 .
5) Показатель Rη можно вычислить, используя частные коэффициенты корреляции следующим образом:
p |
|
|
Rη2 =1 −(1 −ρ012 )∏(1 −ρ01(122 |
...j−1)) . |
(5.33) |
j=2
6)Множественный коэффициент корреляции мажорирует любой парный коэффициент корреляции, характеризующий стохастическую связь результирующего показателя η с остальными, т.е.
ρ0 j ≤Rη , ρ0 j(.) ≤Rη , j = 0, p ,
где ρ0 j(.) – произвольный частный коэффициент корреляции, содержащий
нуль среди первичных индексов.
7) Присоединение каждого нового предсказывающего (входного) переменного не может уменьшить величины Rη (независимо от порядка присое-
динения).
Статистический анализ множественного коэффициента корреля-
ции. Вычисление значений точечной оценки |
ˆ |
показателя Rη |
проводится |
Rη |
по тем же формулам (5.31) – (5.33) путем подстановки в них вместо значений теоретических характеристик соответствующих значений выборочных характеристик.
Например, при использовании формулы (5.32) матрицу P нужно заме-
нить матрицей |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
, в которой все элементы |
ρij |
заменены на ρˆij , |
i, j = 0, p , |
|||||
P |
||||||||
при использовании формулы (5.33) коэффициент корреляции ρ01 |
и все ча- |
|||||||
стные коэффициенты корреляции ρij(.) нужно заменить значениями ρˆij(.) .
Для проверки гипотезы H0 : Rη = 0 будем предполагать, что случайный вектор (ξ, η) имеет (p +1) -мерный нормальный закон распределения, и воспользуемся тем, что статистика
|
|
|
ˆ2 |
|
n −p −1 |
W |
= |
|
Rη |
|
|
|
ˆ2 |
|
|||
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
1 −Rη |
|
||
имеет распределение Фишера с p и n −p −1 степенями свободы, если ис-
22
тинное значение Rη = 0 .
Гипотеза об отсутствии множественной корреляционной связи между η
и ξ = (ξ1, ..., ξp ) отвергается на уровне значимости α, если
ˆ2 |
n −p −1 |
R |
−ˆ2 p ≥ f1−α, p, n−p−1 . (5.34)
1Rη
Впредположении, что η при условии ξ = x имеет нормальный закон с
постоянной дисперсией для любого x , можно показать, что значения приближенных доверительных границ Rη и Rη для показателя, отвечающие до-η
верительной вероятности γ = 1 −α и выборке объема n , имеют вид (справедливый при условии p ≥ 8 ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
p +1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
n |
|
|
|
− p , |
|
||
R |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.35) |
|||||||
|
|
|
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
)f |
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 −R |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
1−α, r , r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
p +1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
n |
|
|
− p , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.36) |
||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
−Rη )fα, r |
, r |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 = |
(p +nR |
η) |
, r2 = n −p −1 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p +2nR η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||