Posobie_Obschaya_topologia

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Композиция открытых (соответственно замкнутых) отображений является открытым (соответственно замкнутым)

замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно сохраняло операцию замыкания, т. е. чтобы f (clA) = clf ( A) для любого подмножества A из X .

41

◄ Необходимость. В силу непрерывности f для любого A X имеем

f ( A) = clf ( A) , т. е. образ всякого замкнутого подмножества замкнут. ►

2.3 Гомеоморфизмы и их простейшие свойства

В основе топологии как науки лежит понятие о гомеоморфном отображении топологических пространств, так как с помощью именно этого понятия решается фундаментальный вопрос о том, какие топологические структуры следует признать неразличимыми (изоморфными).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Биективное отображение f пространства X в

пространство Y называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, если как само отображение f , так и обратное к нему

отображение f −1 являются непрерывными.

Топологическое пространство X мы будем называть гомеоморфным или топологически эквивалентным пространству Y и записывать X Y , если существует хотя бы одно гомеоморфное отображение f : X →Y . В дальнейшем

гомеоморфизмом.

Пример 2.8. Тривиальным примером гомеоморфизма служит тождественное отображение I X . Кроме того, большое число разнообразных

примеров гомеоморфизмов можно получить, рассмотрев различные строго монотонные непрерывные вещественные функции вещественной переменной.

В самом деле, легко понять, что непрерывное отображение f : ∆ → R1 произвольного интервала ∆ числовой прямой на его образ f (∆) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f – строго монотонная функция,

поэтому гомеоморфный образ любого интервала есть снова интервал.

Пример 2.9. Еще одним важным примером гомеоморфизма служит стереографическая проекция p : S 2 \ {N} → R 2 сферы с удаленным северным полюсом N на плоскость.

Пример 2.10. Единичный открытый шар B в R n гомеоморфен всему

42

биективно, причем обратное к нему отображение f : B → R n , задаваемое формулой f −1(x) = 1 −x x , также непрерывно, поэтому f – гомеоморфизм.

Пример 2.11. Простейшими примерами негомеоморфных пространств

могут служить: плоскость R 2 и открытый в нем круг с выколотым центром; двумерная сфера и замкнутый круг; объединение двух дизъюнктных открытых

в R1 интервалов и вся числовая прямая R1; подпространство в R1, состоящее

из всех иррациональных точек, и само R1.

Пусть теперь пространство X гомеоморфно некоторому подпространству Y0 пространства Y , т. е. существует гомеоморфизм h : X →Y0 . Тогда

принято говорить, что X топологически содержится в Y или что X вкладываемо в Y ; при этом гомеоморфизм h называют вложением X в Y . Отождествляя X посредством вложения h с его образом Y0 , можно

рассматривать пространство X как подпространство пространства Y . Предостережение 2.2. На первый взгляд может показаться, что если X

топологически содержится в Y , а Y топологически содержится в X , то X топологически эквивалентно Y . Однако нижеследующий простой пример показывает, что это, вообще говоря, не так.

В самом деле, пусть X = R1, а Y =[−1, +1] R1 , тогда поскольку функция

топологически содержится в Y , хотя X не может быть гомеоморфным Y . Кроме того, следует иметь в виду, что биективное и непрерывное

точке s0 .

Укажем теперь простую конструкцию, позволяющую строить сколько угодно примеров таких отображений одного пространства на другое, которые биективны и непрерывны, однако не являются гомеоморфными.

обратное к нему отображение не будет непрерывным.

43

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.11. Гомеоморфное отображение f : X Y является

одновременно и замкнутым и открытым отображением.

◄ Пусть g : Y → X – обратное к f отображение. Тогда для каждого A из X , очевидно, будем иметь f (A) = g −1 (A), т. е. образ A при отображении f является прообразом A при отображении g и поэтому открытость (соответственно замкнутость) f следует из непрерывности f и g .►

Предостережение 2.3. Если f : X →Y есть гомеоморфизм не на все Y , а на некоторое его подпространство Y0 , то образы открытых (замкнутых) в X

тем не является открытым отображением R1 в R 2 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.12. Открытое (соответственно замкнутое) биективное отображение f : X →Y является гомеоморфизмом.

◄ Пусть g : Y → X – обратное к f отображение, существующее в силу биективности отображения f . Тогда поскольку для каждого A из X ,

очевидно, имеем g −1 (A) = f (A), то прообразы открытых (соответственно замкнутых) подмножеств из X при отображении g будут открытыми (соответственно замкнутыми) в Y по условию открытости (замкнутости) f .► СЛЕДСТВИЕ 2.1. Биективное отображение f : X →Y является

гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно сохраняет операцию замыкания, т. е. для любого множества A X образ его замыкания совпадает с замыканием образа, f (clA) = clf ( A) .

◄ Необходимость. В силу предложений 2.11 и 2.10 непосредственно заключаем, что f (clA) = clf ( A) .

Достаточность непосредственно следует из предложений 2.10 и 2.12. ► Замечание 2.5. Из доказанных выше предложений очевидным образом

заключаем, что, каким бы способом не задавалась топологическая структура пространства, она сохраняется при гомеоморфизмах, поэтому гомеоморфизм представляет собой изоморфизм топологических структур.

Для иллюстрации введенных выше понятий гомеоморфности и негомеоморфности пространств уместно рассматривать различные геометрические фигуры (линии, поверхности и т. д.), расположенные в евклидовых пространствах. Тогда гомеоморфность геометрических фигур можно интуитивно представлять себе следующим образом. Мысленно представим себе, что все геометрические фигуры изготовлены из тонкого эластичного материала (резины, пленки и т. п.), тогда если фигуру B можно

44

получить из фигуры A путем допустимой деформации, т. е. путем непрерывного изгибания, растяжения или сжатия, так, однако, чтобы при этих деформациях не допускать ни разрывов, ни склеиваний, то эти фигуры будут гомеоморфными.

Предостережение 2.4. Следует иметь в виду, что невозможность такой деформации B в A еще не означает, что они не гомеоморфны, другими словами, не всякий гомеоморфизм можно реализовать в виде такой деформации. Таким образом, очевидно, например, что шар, эллипсоид, куб, выпуклый многогранник или фигура, изображенная на рис. 2.1, гомеоморфны между собой, так как они могут быть получены одна из другой путем допустимых деформаций; то же самое можно сказать о поверхностях, ограничивающих эти фигуры.

Пример 2.12. Легко понять также, что деформациями такого же типа можно перевести друг в друга двумерный тор (поверхность спасательного круга, рис. 2.2), сферу с одной ручкой (рис. 2.3) или поверхность кофейной чашки (рис. 2.4). Это означает, что с точки зрения тополога все эти фигуры идентичны, поскольку они гомеоморфны.

Пример 2.13. Нетрудно убедиться, что такие попарно негомеоморфные фигуры, как окружность, лемниската или незамкнутая линия, не могут быть переведены друг в друга такого типа деформациями, поскольку для этого пришлось бы либо их разорвать, либо склеить.

Пример 2.14. В дальнейшем мы увидим, что простая замкнутая лента и так называемый лист Мёбиуса (рис. 2.5), получаемый из незамкнутой ленты путем склеивания коротких сторон после предварительного скручивания ее на угол π , не гомеоморфны. Если же An – фигура, получающаяся так же, как и

лист Мебиуса, но с предварительным перекручиванием ленты на угол nπ 4 (рис. 2.6), то уже нетрудно доказать, что для гомеоморфности Am и An необходимо

и достаточно, чтобы m ≡ n (mod 2).

4 Если n – отрицательное целое число, то перекручивание понимается в противоположном направлении.

45

A4

Таким образом, хотя, например, A0 и A2 гомеоморфны, тем не менее

ясно, что они не могут быть переведены друг в друга допустимыми деформациями. Оказывается, что это последнее обстоятельство связано с различным характером расположения этих фигур в трехмерном пространстве. Об этом идет речь в отдельном разделе общей топологии, посвященном понятию изотопности.

2.4 Понятие об изотопии и изотопических инвариантах

Во многих топологических задачах приходится помимо гомеоморфности фигур учитывать еще и характер их расположения в объемлющем пространстве. Это приводит к рассмотрению специального подкласса гомеоморфизмов – класса так называемых изотопных отображений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Подмножества A и B пространства X называются изотопными (точнее, изотопными относительноX ), если существует гомеоморфизм h : X X такой, что h (A) = B ; при этом h

называется изотопией A на B .

Совершенно ясно, что ограничение h | A этой изотопии реализует

гомеоморфизм A на B , поэтому любые изотопные подпространства гомеоморфны; вместе с тем не всякий гомеоморфизм между A и B может быть продолжен до изотопии A и B , следовательно, гомеоморфные подпространства не обязательно изотопны.

Пример 2.15. Двумерный тор и поверхность кофейной чашки изотопны в R3 , тогда как фигуры A0 и A2n хотя и гомеоморфны, но не изотопны.

Предостережение 2.5. Следует иметь в виду, что подпространства A и B могут быть изотопными относительно пространства X , но не быть изотопными относительно более широкого пространства Y , и обратно; из изотопности A и B относительно Y , вообще говоря, не следует их изотопность в X Y .

Пример 2.16. Пусть X представляет собой двумерный тор, Y – заполненный тор, т. е. сам тор вместе с частью пространства, находящейся внутри тора, а A и B – суть меридиан и параллель на рассматриваемом торе. Можно доказать, что A и B изотопны относительно X , но не изотопны относительно Y (последнее обстоятельство связано с тем, что меридиан можно

46

непрерывно стянуть в точку, оставаясь все время в Y , тогда как сделать это с параллелью невозможно).

С другой стороны, рассмотрим X = R 2 R3 =Y и пусть A, B – фигуры в X , изображенные на рис. 2.7. Ясно, что эти фигуры не изотопны относительно X , однако они, очевидно, изотопны в Y .

A B

Рисунок 2.7

Введенное выше понятие изотопности позволяет отличать ”внутренние” топологические свойства от так называемых изотопических свойств, являющихся топологическими свойствами расположения в объемлющем пространстве.

Свойство подпространства A пространства X называется его изотопическим свойством (относительно X ) или изотопическим инвариантом, если этим же свойством обладают все его изотопные образы.

Очевидно, что всякий топологический инвариант является также и изотопическим инвариантом, но, вообще говоря, не наоборот.

Легко понять далее, что в отличие от изотопических свойств, которые, как мы видели выше, существенно зависят не только от A , но и от характера его расположения в X , топологические свойства A зависят лишь от самого A , поэтому их естественно называть внутренними топологическими свойствами.

Проиллюстрируем сказанное на следующем простом примере, из которого видно, что хотя любые две точки (рассматриваемые как одноточечные подпространства), очевидно, всегда гомеоморфны и, стало быть, все их топологические свойства одинаковы, однако они могут обладать различными изотопическими свойствами. В самом деле, пусть пространством X служит отрезок [a, b] числовой прямой. Очевидно, что все внутренние точки этого

отрезка изотопны между собой, тогда как можно доказать, что не существует изотопии, переводящей концевую точку во внутреннюю.

Другой пример гомеоморфных, но неизотопных в R3 фигур можно получить, взяв за A окружность, а за B – заузленную замкнутую кривую, изображенную на рис. 2.8. Таким образом, заузленность, будучи изотопическим

свойством кривой в R3 , не является, однако, ее “внутренним” топологическим свойством.

Замечание 2.6. Понятие изотопности естественным образом обобщается на случай подмножеств, лежащих в различных пространствах, а именно: подмножества A и B , лежащие соответственно в пространствах X и Y , называются изотопными (относительно этих пространств) если существует гомеоморфизм h : X Y , при котором h (A) = B .

47

от того, является ли множество индексов конечным, счетным или несчетным. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Покрытие называется локально

конечным, если семейство S является локально конечным.

При построении непрерывных отображений иногда бывает затруднительно строить его сразу на всем пространстве X , поэтому удобнее строить непрерывные порции конструируемого отображения на отдельных подмножествах пространства X . При этом совокупность этих подмножеств должна быть некоторым покрытием пространства X , упомянутые порции должны быть согласованы между собой, т.е. совпадать на соответствующих пересечениях этих подмножеств.

ограничения fi которого на каждое из подмножеств Ai S непрерывны. Тогда

fесть непрерывное отображение всегоX в Y .

◄В самом деле, пусть F – произвольное замкнутое в Y множество и

пусть E = f −1 (F ). Тогда, очевидно,

49

2.6 Понятие о ретракте и ретрагирующем отображении

Одной из основных задач топологии является задача о распространении данного непрерывного отображения. Пусть X , Y – произвольные топологические пространства, A – некоторое подпространство в X , а g : A →Y – некоторое непрерывное отображение. Тогда задача распространения

отображения g состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях будет существовать непрерывное отображение f : X →Y такое, что f | A = g . Частным, но весьма важным случаем этой задачи является задача о ретракции,

допускает непрерывное продолжение на все пространство X ; при этом каждое такое отображение r называют ретрагирующим отображением или ретракцией X на A и записывают r : X A.

Ясно, что каждое одноточечное подмножество {x0 } любого пространства

X служит для него ретрактом, единственной ретракцией для которого является постоянное отображение X →{x0 }.

Пример 2.18. Легко убедиться, что как n -мерный шар B n , так и любая гиперплоскость в R n являются простейшими примерами ретрактов для R n .

Пример 2.19. Пусть X =[0,1], а A = frX ={0,1} – граница в R1. Тогда

легко понять, что A не является ретрактом для X , ибо при ретрагирующем отображении образ связного множества X , а именно множество A , обязан был бы быть тоже связным.

X на S n−1 , поэтому сфера S n−1 является ретрактом для шара с выколотым центром. В частности, окружность служит ретрактом для круга с выколотым центром.

Пример 2.21. Сфера является ретрактом для “колючей” сферы, ибо ретракцию можно получить “вдавливанием” всех иголок.

Пример 2.22. Удалим из заполненного тора X , рассматриваемого как

пространственная фигура в R3 , получаемая вращением диска D вокруг оси l , его остов C (окружность, описываемую центром диска), тогда его поверхность

Y =T 2 будет ретрактом для X \ C . Ретракцию r : (X \ C )→T 2 можно

50