Posobie_Obschaya_topologia

замкнутое множество не имеет ни одной изолированной точки, т. е. является совершенным.

Из только что доказанного предложения непосредственно вытекает нижеследующий критерий совершенности множества на R1.

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Замкнутое множество F числовой прямой R1 совершенно тогда и только тогда, когда его любые два смежных интервала не имеют общего конца.

Оставшаяся часть этого пункта посвящена описанию одного замечательного множества на числовой прямой, построенного создателем классической теории множеств, немецким математиком Георгом Кантором. Это множество сыграло и продолжает играть особую роль как в самой теории множеств, так и в ряде других разделов математики, в том числе и в топологии.

Пример 1.37. Канторово совершенное множество. Рассмотрим замкнутое множество F0 =[0,1] на числовой прямой R1 . Разделим этот отрезок

на три равные части и удалим из него средний интервал (1/3, 2/3) длины 1/3, а оставшееся замкнутое множество, являющееся объединением двух отрезков [0, 1/3] и [2/3, 1], обозначим через F1. С каждым из двух оставшихся отрезков

поступим так же, а именно: разделим на три равные части и удалим его средний интервал, т. е. из F1 мы удаляем уже два интервала (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9),

имеющие длину 1/32; объединение оставшихся четырех отрезков обозначим через F2 .

Продолжая этот процесс неограниченно, мы получаем бесконечную последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств:

F0 F1 F2 ... Fn Fn+1 ...

∞

Замкнутое множество F = ∩ Fn , являющееся пересечением всех

n=0

построенных выше множеств Fn , называется канторовым совершенным

множеством или канторовым дисконтинуумом.

Нижеследующие предложения описывают некоторые из основных свойств этого замечательного множества.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16. Канторов дисконтинуум является совершенным множеством в топологии числовой прямой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.17. Канторов дисконтинуум имеет мощность континуума.

Доказательство можно найти, например в [3].

Замечание 1.11. Поскольку точки множества F , являющиеся концами смежных интервалов, очевидно, образуют лишь счетное множество, то из предыдущего предложения следует, что основную массу точек канторова дисконтинуума F составляют его остальные точки, совокупность которых имеет мощность континуума, и которые служат предельными для концевых точек.

Замечание 1.12. Весьма примечательным представляется и тот факт, что

31

множествоF получено из отрезка [0, 1] удалением счетного числа интервалов, суммарная длина которых в точности равна длине всего отрезка [0, 1] и, тем не менее, оставшееся множество – канторов дисконтинуум – обладает такой же мощностью, что и весь отрезок [0, 1].

В самом деле, суммарная длина всех удаленных интервалов, как нетрудно подсчитать, равна сумме ряда

Говоря в терминах теории меры, сказанное выше означает, что хотя канторов дисконтинуум имеет такую же мощность, что и весь отрезок [0, 1], однако его лебеговская мера равна нулю, а мера отрезка [0, 1] равна единице.

Замечание 1.13. Канторов дисконтинуум является нигде не плотным множеством [1].

1.10 Канонически открытые и канонически замкнутые множества

В ряде вопросов бывает уместным особо выделять специальные классы открытых (соответственно замкнутых) множеств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.17. Подмножество A из X называется канонически открытым (соответственно канонически замкнутым), если оно совпадает с внутренностью своего замыкания (соответственно с замыканием своей внутренности).

Тривиальными примерами канонически открытых и канонически

замкнутых множеств служат открытые (соответственно замкнутые) шары в R n . Пример 1.38. Открытым, но не канонически открытым множеством

служит открытый шар в R n , из которого удалено конечное множество радиусов

(рис. 1.1). Если же к замкнутому шару в R n присоединить конечное число исходящих из его центра лучей, то мы получим пример замкнутого, но не канонически замкнутого множества (рис. 1.2).

Пример 1.39. Канторов дисконтинуум служит примером не только замкнутого, но и совершенного множества, которое не является канонически замкнутым.

32

Выделенные специальные классы множества связаны с операцией cl * канонического замыкания и операцией int* перехода к каноническому ядру, которые определяются следующим образом: int* A = int clA, cl * A = cl int A .

Поскольку, очевидно, A clA , следовательно, int A int* A, т. е. открытое ядро всегда содержится в каноническом ядре, то непосредственно заключаем, что все открытые множества содержатся в своем каноническом ядре, а канонически открытыми являются те из них, для которых int* A = A, иными словами, те из них, которые инвариантны относительно операции перехода к каноническому ядру.

Аналогичным образом, поскольку очевидно, что int A A , следовательно, cl * (A) clA, т. е. каноническое замыкание всегда содержится

в замыкании, непосредственно заключаем, что все замкнутые множества содержат в себе свои канонические замыкания, а канонически замкнутыми являются те из них, для которых cl * (A) = A ; иными словами, те из них,

которые инвариантны относительно операции канонического замыкания. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.18. Подмножество A из X является канонически

открытым (соответственно канонически замкнутым), если и только если оно представляет собой внутренность замкнутого (соответственно замыкание открытого) множества.

◄ Пусть A = cl int A , тогда A = clG , где G = int A открыто. Обратно:

многократное применение этих операций равносильно их однократному применению.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.19. Для каждого подмножества A изX имеют место

int* A, как и всякое открытое множество, содержится в своем каноническом ядре, поэтому верно и обратное включение int* A int* (int* A).

Переходя к доказательству второго соотношения, прежде всего, заметим,

33

cl int A cl int cl (int A) или cl * A cl * (cl * A), поэтому cl * (cl * A) = cl * A.

В заключение пункта проиллюстрируем введенные понятия еще на одном примере.

Пример 1.40. Пусть X – подмножество плоскости R 2 , представляющее собой объединение замкнутого единичного круга и оси абсцисс, а подмножество A получается из X удалением нижней полуокружности вместе с ее концами и верхнего вертикального радиуса без его начала (рис. 1.3). Легко проверить, что при этом clA = X , int A – открытый круг без упомянутого радиуса, frA – полная окружность, упомянутый радиус и часть оси абсцисс,

находящаяся вне круга, а край A \ intA представляет собой центр круга вместе с двумя открытыми дугами верхней полуокружности и частью оси абсцисс, находящейся вне замкнутого круга. Далее, int * A – весь открытый круг, a cl * A – весь замкнутый круг.

X A

Рисунок 1.3

34

непрерывным и биективным отображением, причем обратное к нему отображение tg : (−π 2 , π 2 )→ R1 тоже непрерывно.

Оказывается, что непрерывные отображения обладают следующим важным свойством, которое полностью их характеризует, а именно имеет место следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Отображение f пространства X в пространство

Yнепрерывно тогда и только тогда, когда прообраз f −1 (V ) любого открытого

вY множества V будет открытым множеством в X .

◄Пусть f – непрерывное отображение X в Y , а V – произвольное

X . Докажем, что отображение f непрерывно в точке x0 . В самом деле, пусть y0 = f (x0 ), а V – произвольная открытая окрестность y0 ; тогда U = f −1 (V ) будет, по условию, открытой окрестностью точки x0 , образ которой, очевидно, целиком содержится в V . Таким образом, отображение f непрерывно в каждой точке x0 X , т. е. является непрерывным отображением. ►

Замечание 2.1. Из известных формул прообразов объединения и пересечения множеств и из определений базы и предбазы нетрудно заключить,

некоторой базе или даже предбазе топологии пространства Y .

Поскольку дополнения открытых множеств замкнуты, а прообразы взаимно дополнительных множеств являются взаимно дополнительными множествами, то доказанное предложение 2.1 можно сформулировать также и в следующей двойственной форме.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Отображение f пространства X в пространство

Y является непрерывным отображением тогда и только тогда, когда прообразы всех замкнутых в Y множеств являются замкнутыми в X .

Предостережение 2.1. Приведенные в следующем пункте простые примеры показывают, что образы открытых (соответственно замкнутых) множеств при непрерывных отображениях могут быть неоткрытыми

36

(соответственно незамкнутыми) множествами.

Теперь приведем еще один часто используемый критерий непрерывности отображения f в терминах образов замыканий множеств.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Отображение f пространства X в пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества A из X

f(clA) clf ( A) .

◄Пусть f непрерывно, а x0 – произвольная точка прикосновения

37

окажется опять непрерывным отображением. Таким образом, чем сильнее топология в X и чем слабее топология в Y , тем больше непрерывных

отображений X в Y . Если жеX дискретно или Y антидискретно, то уже любое

отображение f : X →Y непрерывно.

Одним из наиболее важных и вместе с тем простых свойств непрерывных отображений является то, что композиция двух, а стало быть, и любого конечного числа непрерывных отображений есть снова непрерывное отображение, а именно: имеет место следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Пусть f : X →Y , g : Y → Z – два непрерывных отображения, тогда их композиция h = g f : X → Z непрерывна.

◄ Пусть C – произвольное открытое множество из Z . Тогда в силу непрерывности g множество B = g −1 (C ) будет открытым в Y , а в силу

непрерывности f множество A = f −1 (B ) будет открытым в X . Вместе с тем

очевидно, что

h−1 (C )= f −1 g −1 (C ) = f −1 (B )= A

и, следовательно, h−1 (C ) открыто в X . Таким образом, отображение h

непрерывно, поскольку прообраз произвольного открытого множества при этом

отображении есть множество открытое. ►

Часто оказывается полезным следующее усиление критерия непрерывности отображения f в терминах прообразов открытых множеств,

которое можно рассматривать как одно из приложений понятия предбазы

топологии.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Для непрерывности отображения f пространства

X в пространство Y достаточно, чтобы прообразы открытых множеств, входящих в состав некоторой предбазы топологии пространства Y , были открытыми в X .

◄ Пусть α – некоторая предбаза топологии пространства Y , β – база топологии в Y , порожденная этой системой образующих, а V – произвольное

N

открытое множество, входящее в состав β , т. е. V = ∩ Vi , где Vi α .

i=1

поэтому заключаем, что прообразы всех множеств, входящих в состав базы β , тоже открыты в X . Пусть теперь W – произвольное открытое множество из Y , тогда оно должно быть представлено в виде объединения W = Vi , где Vi β .

38

Тогда поскольку f −1 (W ) = f −1 (Vi ), то f −1 (W ), будучи объединением

открытых в X множеств f −1 (Vi ), само должно быть открыто в X .►

Для иллюстрации применения этого предложения приведем один пример.

(−∞, ξ ), которые, как указывалось ранее, образуют предбазу топологии

числовой прямой R1 , то в силу предложения 2.5 непосредственно приходим к следующему утверждению: заданная на X вещественная функция f является

непрерывной на X тогда и только тогда, когда для всякого ξ R1 множества

Eξ+ и Eξ− открыты в X .

Приведем, наконец, еще один критерий непрерывности отображения f в терминах сходящихся последовательностей точек.

метрическим, то и достаточно, чтобы для любой сходящейся к x0 последовательности xn образы f (xn ) сходились к f (x0 ).

◄ Пусть отображение f непрерывно в точке x0 , а xn – произвольная

39

Замечание 2.3. Нетрудно убедиться, что в доказательстве второй части предыдущего предложения было использовано наличие счетной локальной базы в точке x0 , а не метричность всей топологии в X .

Как уже упоминалось выше, всякое постоянное отображение f : X →Y

непрерывно, какова бы ни была топология в X или в Y ; вместе с тем топология в X может быть такой, что кроме постоянных отображений

f : X → R1 никаких других непрерывных отображений нет, хотя и множество X бесконечно.

2.2 Понятие об открытых и замкнутых отображениях

Здесь мы ограничиваемся лишь приведением отдельных примеров и доказательством наиболее простых свойств так называемых открытых и замкнутых отображений. Класс открытых, так же как и класс замкнутых отображений играет большую роль и в самой топологии, и в ряде ее важнейших приложений. Например, теория открытых отображений лежит в основе так называемых топологических принципов теории аналитических функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Непрерывное отображение f : X →Y называется

одновременно открытого и замкнутого отображения, что же касается отображения вложения i : A X ,то оно открыто (соответственно замкнуто) тогда и только тогда, когда подмножество A открыто (соответственно замкнуто) в X .

Пример 2.5. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию f : I → R1 , где I –отрезок [0, 1] из R1 . Оказывается, что такое отображение f всегда замкнуто. Далее легко убедиться, что если функция f имеет сколь угодно малый интервал постоянства, то отображение f не будет открытым.

Полезно иметь в виду и следующее более общее соображение.

Пример 2.6. Отображение проектирования p : R 2 → R1, определенное формулой p (x1, x2 )= x1 , является открытым отображением, ибо проекция любого открытого круга с центром в точке (x1, x2 ) является интервалом с центром в точке x1. Вместе с тем это отображение не является замкнутым, так как, например, образом гиперболы x1x2 =1, являющимся очевидно замкнутым

40