Posobie_Obschaya_topologia

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

"ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ"

для студентов специальности 7.080202 – ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УТВЕРЖДЕНО кафедрой прикладной математики.

Протокол № 8 от 15.03.2005

Харьков 2005

1.7Сходимость последовательности точек в топологическом пространстве.. 25

1.8Понятие о внутренности и границе множеств в топологических

3

ВВЕДЕНИЕ

Топология – раздел математики, имеющий своим назначением выяснение и исследование в рамках математики идеи непрерывности. Интуитивно идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени и имеет, следовательно, фундаментальное значение для познания. Соответственно, топология, в которой понятие непрерывности получает математическое воплощение, естественно вплетается почти во все разделы математики. В соединении с алгеброй топология составляет общую основу современной математики и содействует ее единству.

Предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся гомеоморфизмами. Следовательно, топологию можно квалифицировать как разновидность геометрии. Важной чертой этой геометрии является необычайная широта класса геометрических объектов, попадающих в сферу действия ее законов.

Вызвана эта широта тем, что центральное понятие топологии – понятие гомеоморфизма – не требует для своего определения никаких классических геометрических понятий типа расстояния, прямолинейности, гладкости и т. д. Понятие гомеоморфизма и лежащее в его основе понятие непрерывного отображения предполагают только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном, вообще говоря, от простого отношения принадлежности.

Под фигурой в топологии понимается любое множество точек, в котором задано отношение близости между точками и некоторыми подмножествами, удовлетворяющее определенным аксиомам. Такие фигуры называются топологическими пространствами.

Главной задачей топологии является выделение и изучение топологических свойств пространств, или топологических инвариантов.

Предлагаемый конспект лекций содержит весьма обстоятельное изложение некоторых наиболее важных понятий общей топологии. В основе пособия некоторые главы книги Р.А. Александряна и Э.А. Мирзаханяна "Общая топология" [1].

Благодаря подробности изложения содержащийся в пособии материал может быть доступен не только студентам и аспирантам, но и широкому кругу лиц, желающих ознакомиться с основными идеями и методами общей топологии.

Для понимания материала требуются знания элементов теории множеств, а также, имея в виду достаточную абстрактность самого предмета топологии, предварительное ознакомление с основными понятиями начальных разделов математического и функционального анализа.

Пособие содержит большое количество примеров, а также рисунки, иллюстрирующие сущность вводимых абстрактных понятий и способствующие усвоению материала.

Внутри каждого раздела нумерация отдельная для определений,

4

отдельная для утверждений (предложений, теорем) и, наконец, отдельная для замечаний и предостережений, причем нумерация всюду двойная, в которой первое число указывает номер раздела, а второе – номер определения (соответственно утверждения или замечания). При ссылке на другой раздел дополнительно указывается номер раздела.

При изложении материала используются следующие обозначения:

1.Импликация A B означает, что А влечет В.

2.Эквивалентность A B означает, что A B и B A.

3.Квантор общности x X читается: для любого x X .

4.Квантор существования x0 X читается: существует x0 X . Кроме

того, знаками ◄, ► всюду обозначается начало и окончание доказательств.

1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Этот раздел посвящен определению центрального понятия всей топологии, а именно понятия топологического пространства, а также описанию некоторых связанных с ним отправных понятий. Изложение этих общих и весьма абстрактных концепций целесообразно начать с исторически более раннего и несравненно более обозримого понятия метрического пространства (введенного французским математиком М. Фреше в 1906 г.), играющего исключительно важную роль во всей математике и ее приложениях.

треугольника).

Множество X, рассматриваемое вместе с заданной на нем метрикой ρ , называется метрическим пространством. При этом элементы множества X

называются точками этого пространства, а число ρ(x1, x2 ) расстоянием между точками x1, x2 .

Ясно, что в одном и том же множестве X могут быть заданы различные метрики, поэтому, чтобы различать получающиеся при этом различные

5

метрические пространства, иногда уместно обозначать метрическое пространство в виде пары ( X , ρ) .

Укажем несколько простейших примеров метрических пространств.

Пример 1.1. Числовая прямая R1. Пусть X – множество всех вещественных чисел. Полагая для любых x1, x2 X ρ(x1, x2 ) = x1 − x2 , легко

убеждаемся, что все три аксиомы метрики выполняются. Получаемое таким образом метрическое пространство называют числовой прямой и обозначают буквой R1.

n

ρ(x, y) = ∑(xk − yk ) 2 .

k −1

Мы предоставляем читателю проверить, что при этом все аксиомы метрики выполняются и, стало быть, множество X вместе с так определенной метрикой ρ представляет собой метрическое пространство, которое называется

n-мерным числовым пространством и обозначается через R n .

Замечание 1.1. В этом же множестве X часто задают и другую метрику

метрики будут выполнены (см., например, [2]). Получаемое таким образом метрическое пространство ( X , ρ) обозначают через l p . Среди пространств

1 Под корнем понимается его арифметическое значение

6

произвольное непустое множество. Полагая ρ(x1, x2 ) = 0, если x1 = x2 и ρ(x1, x2 ) =1, если x1 ≠ x2 , мы, очевидно, получим метрику на X , называемую

дискретной метрикой, а пространство ( X , ρ) – дискретным метрическим

пространством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Метрические пространства ( X , ρ) и ( X ', ρ ')

называются изометрическими, если существует взаимно-однозначное соответствие x ↔ x ' между элементами множеств X и X ', причем такое, что

ρ(x, y) = ρ '(x ', y ') для любой пары элементов x , y из X .

Сточки зрения теории метрических пространств изометричные пространства считаются неразличимыми, т. е. эквивалентными.

Пусть теперь ( X , ρ) – произвольное метрическое пространство, a X –

существует ε -окрестность x0 , содержащаяся в Ai0 , а следовательно, и в A .

Таким образом, всякая точка множества A является его внутренней точкой, т. е. A – открытое множество.

7

выполнение первой аксиомы метрики в ее ослабленной форме (имеется в виду, что аксиомы М.2 и М.З выполняются в том же виде). Заменив ее аксиомой М.1:

псевдометрикой. Разумеется, всякое метрическое пространство является псевдометрическим, но не наоборот. Тривиальный пример псевдометрического, но не метрического пространства можно получить, положив в произвольном множестве, содержащем не менее двух элементов, ρ(x1, x2 ) = 0 для всех пар

x1, x2 X .

Перечислим еще несколько примеров метрических пространств, играющих весьма важную роль в самых различных разделах математики и ее приложений.

Замечание 1.3. В отличие от указанных выше примеров, элементами нижеследующего пространства являются не числа или числовые последовательности, а функции, заданные на том или ином множестве, поэтому это пространство называется функциональным.

Пример 1.5. Пространство непрерывных функций C [a, b]. Пусть X –

совокупность вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [a, b] числовой прямой. Введем в X метрику ρ , полагая для любых функций

этом аксиомы метрики выполняются. Получаемое таким образом метрическое пространство ( X , ρ) называется пространством непрерывных функций и

обозначается через C [a, b].

Замечание 1.4. Пусть A – произвольное непустое подмножество метрического (псевдометрического) пространства ( X , ρ) . Полагая

8

называют число diamM = sup ρ(x, y) ; при этом M называется x, y M

ограниченным, если diamM < ∞.

1.2 Определение топологического пространства

Глубокий анализ таких фундаментальных понятий теории метрических пространств, как, например, понятия точки прикосновения, предельной точки, сходимости последовательности точек, непрерывности отображения, а также целого ряда других понятий, показывает, что хотя все они в конечном счете исходят из понятия метрики, но тем не менее могут быть описаны исключительно в терминах открытых множеств (или, что эквивалентно, в терминах окрестностей точек). Это обстоятельство послужило основой для чрезвычайно плодотворной идеи, заключающейся в том, чтобы исходным считать не метрику, а само семейство открытых множеств, причем описывать его, не опираясь на какую-либо метрику или другую концепцию, использующую понятие числа, а посредством определенных аксиом, отражающих лишь наиболее основные свойства семейства открытых множеств метрического пространства, однако все же достаточных для построения содержательной теории сходимости, непрерывности и т. д. Именно таким путем возникло столь фундаментальное для всей математики понятие, каким является общее понятие топологического пространства, к определению которого мы приступаем.

топологическую структуру или, короче, топологию, если это семейство удовлетворяет следующим трем условиям:

0.1) все множество X и пустое множество принадлежат семействуτ ; 0.2) объединение любого семейства множеств из τ также принадлежит

семействуτ ; 0.3) пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ .

Эти условия называются аксиомами топологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Множество X , рассматриваемое вместе с заданной в X топологией τ , называется топологическим пространством; при этом элементы множества X называются точками, а подмножества U i ,

принадлежащие семейству τ , – открытыми множествами этого

топологического пространства. Иногда само множество X называют носителем топологии τ .

Поскольку одно и то же множество X , состоящее из более чем одного элемента, может быть превращено в различные топологические пространства посредством задания в X различных топологических структур, то для того,

9

чтобы указать, что в X задана именно топология τ , соответствующее топологическое пространство иногда обозначают в виде пары ( X ,τ) .

Приведем несколько примеров топологических пространств.

Пример 1.6. Метрические пространства. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.1 семейство τ всех открытых множеств метрического пространства ( X , ρ) удовлетворяет аксиомам топологических структур и, стало

быть, задает в X некоторую топологию, которую принято называть метрической топологией. Ясно, что, в частности, любое евклидово

пространство R n также является топологическим, топология которого называется обычной или евклидовой.

Таким образом, метрические пространства образуют обширный и весьма

τ удовлетворяет аксиомам топологии. Возникающее таким образом топологическое пространство (X ,τ ), хотя и имеет весьма простое строение,

все же представляет определенный интерес и поэтому имеет специальное название – связное двоеточие.

1.3 Сравнение топологий

Пусть X – множество, содержащее более чем один элемент, а τ1 и τ2 , заданные в X , – две различные топологии. Если τ1 τ2 , т.е. каждое подмножество, входящее в семейство τ2 , входит также в состав семейства τ2 , то говорят, что топология τ2 мажорирует топологию τ1 или, что топология τ1 мажорируется топологией τ2 . Другими словами, топология τ2 мажорирует топологию τ1, если всякое подмножество, открытое в топологии τ1, является

τ2 ≤τ3 следует τ1 ≤τ3 . Кроме того, если топологии τ1 и τ2 таковы, что τ1 ≤τ2 и τ2 ≤τ1, то τ1 =τ2 , т. е. эти топологии совпадают.

2 Пустое подмножество также рассматривается как конечное подмножество.

10