MU_prakt_DM_ukr

(x5 , y2 ), (x5 , y4 ) }. Визначити фактор-множину Y \ R і переріз відношення за

підмножиною B {x2 , x3} .

Розв’язок.

Очевидно, R(x1 ) {y1 , y3}; R(x2 ) {y1 , y3 , y4 } та ін.

Випишемо переріз за всіма елементами множини X у такому вигляді:

Y \ R {{y1 , y3},{y1 , y3 , y4 },{y1 , y2 , y4 },{y3},{y2 , y4 }}.

Об’єднання перерізів за елементами підмножини B X є перерізом

R(B) відношення R за підмножинами B , тобто R(B) R(x) .

x X

Так, для B {x2 , x3}, R(B) {y1 , y2 , y3 , y4 } R(x2 ) R(x3 ) .

Завдання 9. Нехай задані два відношення:

A {(x1 , y1 ), (x1 , y3 ), (x2 , y1 ), (x2 , y3 ), (x2 , y4 ), (x3 , y1 ), (x3 , y2 ), (x3 , y4 ), (x4 , y3 ), (x5 , y2 ),(x5 , y4 )} и B {(y1, z2 ),( y2 , z1),( y2 , z2 ),( y3 , z3 ),( y4 , z3 )}

Знайти композицію C B A , переріз C(x3 ) .

Розв’язок.

Композиція відношень A і B буде дорівнювати:

C {(x1 , z2 ),(x1 , z3 ),(x2 , z2 ),(x2 , z3 ),(x3 , z1 ),(x3 , z2 ),(x3 , z3 ),(x4 , z3 ),(x5 , z1 ),(x5 , z2 (x5 , z3 )}

Переріз C(x3 ) {z1, z2 , z3} .

T S {(6, ), (7, ) , (8, ), (8, )} .

Завдання 11. Нехай A {a, b, c, d, e}, S, T , U , V відношення на A, де

S {(a, a), (a,b), (b,c), (b, d ), (c,e), (e, d ), (c, a)};

T{(a,b), (b, a), (b,c), (b, d ), (e,e), (d,e), (c,b)};

U{(a,b), (a, a), (b,c), (b,b), (e,e), (b, a), (c,b), (c,c), (d, d ), (a,c), (c, a)};

V{(a,b), (b,c), (b,b), (e,e), (b, a), (c,b), (d, d ), (a,c), (c, a)}

21

Яке з відношень є рефлексивним? Яке з відношень є симетричним?

(a, a), (b,b), (c,c), (d, d ), (e,e) ).

Симетричним є відношення U і V .

Завдання 12. Нехай задана множина A { , , , } і нехай выдношення R A A визначено у вигляді

R {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} .

Чи є відношення R відношенням еквівалентності?

Розв’язок.

R не є рефлексивним, тобто A, але ( , ) R .

R не є симетричним, оскільки ( , ) R , але ( , ) R .

R не є антисиметричним, оскільки ( , ) R і ( , ) R , але . R не є транзитивним, тому що ( , ) R і ( , ) R , але ( , ) R . Отже, відношення R не є відношенням еквівалентності.

Завдання 13. Яке з наведених нижче відношень R є відношенням часткового порядку на множині A {a, b, c, d}?

а) R {(a, a), (b,b), (c,c), (d, d ), (a,c), (b,c), (c, d ), (a, d ), (b, d ) }; б) R {(a, a), (b,b), (c,c), (d, d ), (a,b), (b,c), (c, d ), (d, a) };

в) R {(b,b), (c,c), (d, d ), (a,c), (b,c), (c, d ), (a, d ), (b, d ) };

г) R {(a, a), (b,b), (c,c), (d, d ), (a,b), (b,c), (a,c), (a, d ), (b, d ), (c, d ) }.

22

3 ФУНКЦІОНАЛЬНІ ВІДНОШЕННЯ

3.1 Мета заняття

Ознайомлення на практичних прикладах з основними поняттями теорії функціональних відношень. Вивчення основних типів відображень (функцій). Вивчення інструментів наочного зображення функціональних відношень між множинами.

3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-10] з таких питань: поняття функціонального відношення; способи задання функціональних відношень; поняття відображення (функції); область визначення та область значень функціональних відношень; основні типи відображень (функцій).

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться за два етапи. Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах таких основних понять і визначень функціональних відношень: функціональне відношення; функція; відображення; часткова функція; образ; прообраз; сюр’єктивна функція (сюр’єктивне відображення); ін’єктивна функція (ін’єктивне відображення); бієктивна функція (бієктивне відображення); взаємно однозначне відображення.

Під час виконання першого етапу студент повинен запропонувати і записати індивідуальний приклад для кожного з розглянутих вище понять і визначень.

Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з розв’язанням практичних завдань, які представлені у підрозділі 3.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 3.4).

3.3 Контрольні запитання і завдання 3.3.1 Контрольні запитання

1.Яке відношення називається функціональним?

2.Яке функціональне відношення називається всюди визначеним?

3.Як виглядає матриця функціонального відношення?

23

4.Яке функціональне відношення називають відображенням множини

X в Y ?

5.Що таке сюр’єкція?

6.Яке відображення називається ін’єктивним?

7.Що таке бієкція?

8.Яке відображення називається взаємно однозначним?

9.Що називається образом елемента?

10.Що таке прообраз елемента?

11.Чим характеризується граф і матриця сюр’єктивного, ін’єктивного, бієктивного відображення?

12.Перелічить основні властивості відображень.

3.3.2Контрольні завдання

24

Завдання 6. З’ясувати, які з наведених нижче функцій, у яких область визначення та область значень збігаються з дійсною числовою віссю, є ін’єк

{( x, y) | y (x 6) / 3}.

Завдання 4. Нехай A в B множина дійсних чисел, і функція f : A B визначена як f (x) x2 . Чи є функція сюр’єкцією, ін’єкцією й бієкцією?

Розв’язок.

Функція не є сюр’єктивною, оскільки не існує такого дійсного числа a ,

25

4 БУЛЕВІ ФУНКЦІЇ ТА ПЕРЕТВОРЕННЯ

4.1 Мета заняття

Ознайомлення на практичних прикладах з основними поняттями булевої алгебри. Вивчення способів задання булевих функцій. Аналіз формул і тотожностей, які визначають властивості операцій булевої алгебри. Вивчення і використання методів доведення тотожностей булевої алгебри.

4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-8] з наступних питань: булеві змінні і булеві функції (основні поняття); область визначення та область значень булевої функції; способи задання булевих функцій; побудова таблиць істинності булевих функцій; реалізація булевих функцій формулами; принцип двоїстості в булевій алгебрі; булеві алгебри, закони і тотожності булевої алгебри.

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться за два етапи. Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах

наступних основних понять і визначень булевої алгебри: булеві змінні; булеві функції; номери булевих функцій та інтерпретацій; інтерпретація булевої функції; n-мірний булевий куб; область визначення булевої функції; таблиця істинності (відповідності) булевої функції; заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, еквіваленція, імплікація, стрілка Пірса, штрих Шеффера; булева формула; суперпозиція булевих функцій; пріоритет операцій булевої алгебри; інфіксний запис формул; еквівалентні формули та перетворення булевих функцій; двоїста функція; самодвоїста функція; принцип двоїстості; двохелементна булева алгебра; алгебра логіки; еквівалентні (рівносильні) формули булевих функцій.

При виконанні першого етапу практичного заняття студент повинен запропонувати і записати індивідуальний приклад для кожного з розглянутих вище понять і визначень.

Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з розв’язанням практичних завдань, представлених у підрозділі 4.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 4.4).

26

4.3 Контрольні запитання і завдання 4.3.1 Контрольні запитання

1.Які змінні називаються булевими або логічними змінними?

2.Яка функція називається логічною (булевою, перемикальною)?

3.Наведіть приклади завдання (використання) булевих змінних у мовах програмування.

4.Як називається сукупність конкретних значень аргументів булевої

функції?

5.Скільки елементів-слів містить n -мірний булевий куб?

6.Що являє собою область визначення та область значень булевої

функції?

7.Як визначити число всіх булевих функцій, що залежать від n

змінних?

8.Перелічить способи задання булевих функцій.

9.Що являє собою таблиця істинності (відповідності) булевої функції. Назвіть правила її побудови.

10.Перелічить булеві функції від однієї змінної, від двох змінних.

11.Яким чином визначається номер булевої функції? Як визначається номер інтерпретації?

12.Дайте визначення формули для задання булевої функції. Що таке суперпозиція булевих функцій?

13.Які знаки використовуються при побудові формул? Який пріоритет визначений для операцій алгебри логіки?

14.Який запис формул називається інфіксним? Наведіть приклади.

15.Чим відрізняється табличний і формульний спосіб задання булевих функцій? У яких випадках застосовується кожний з них?

16.Які формули називаються рівносильними або еквівалентними?

17.Перелічить основні методи визначення рівносильності формул.

18.Надайте визначення двоїстої і самодвоїстої функції.

19.Яким чином формується таблиця істинності двоїстої функції?

20.Сформулюйте принцип двоїстості булевих функцій.

21.Надайте визначення двохелементної булевої алгебри та алгебри

логіки.

22.Перелічить основні закони булевої алгебри.

23.Яким способом можна довести закони булевої алгебри.

24.Сформулюйте і запишіть тотожності для законів булевої алгебри.

27

Завдання 2. У скільки разів більше можна побудувати булевих функцій, що залежать від 6-и змінних, чим від 4-х змінних?

Завдання 3. Побудувати таблиці істинності наступних функцій і визначити їхній порядковий номер:

а) f (x, y) (x ~ y) ( y x) ;

б) f (x, y, z) (x y) (x z) ( y z) ;

в) f (x, y, z) (x y) (x z) ( y z) ;

г) f (x, y) (x y) ( y x) ;

д) f (x, y, z) (x y) (x | z) ( y ~ z) .

Завдання 4. Перевірити за допомогою таблиць істинності, чи справедливі наступні співвідношення:

Завдання 8. Знайти двоїсті формули до наступних функцій:

а) (x ( y z)) x y ;

б) x y y z x z ;

в) x y x y zt .

28

Завдання 9. Визначити, чи є наступні функції самодвоїстими:

а) f (x, y) (x y) ( y x) ;

б) f (x, y, z) (x y) (x z) ( y z) ;

в) f (x, y) x (x y) .

Завдання 10. Спростити за допомогою законів булевої логіки наведені нижче вирази. Потім за допомогою таблиць істинності зрівняти отримані вирази із заданими:

4.4 Приклади аудиторних і домашніх завдань

Завдання 1. Визначити потужність множини двійкових слів (інтерпретацій), на яких визначена булева функція y f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) .

Завдання 2. Визначити кількість булевих функцій, які залежать від 5-ти булевих змінних.

Розв’язок.

Число всіх булевих функцій, що залежать від n булевих змінних, дорівнює 22 n , отже, число всіх булевих функцій, що залежать від 5-ти булевих змінних x1 , x2 ,..., x5 , дорівнює 22n 225 232 4294967296.

29

f (x, y, z) (x ~ y) (( y x) z)

Двійковий код, що відповідає значенням цієї функції, дорівнює 11010011 (останній стовпець таблиці 4.1).

Двійкове число 110100112 в десятковій системі числення буді мати вигляд:

f(x, y, z)10 27 1 26 1 25 0 24 1 23 0 22 0 21 1 20 1 128 64 0

16 + 0 + 0 + 2 +1 = 192 +19 = 21110 .

Побудуємо таблицю істинності, для цього запишемо отримане число в стовпці значення функції таким чином, щоб молодший розряд був у нижньому рядку.

30