ММДО_МУ по ЛБ(+)

3.Що геометрично визначає нерівність виду а1х1+а2х2на площині?

4.Що необхідно знайти для реалізації методу послідовного поліпшення

плану?

5.Що є ознакою необмеженості цільової функції на припустимій множині рішень?

6.Як визначити оптимальність припустимого базисного розв’язку?

7.За яких умов використовують метод штучної бази для розв’язання ЗЛП?

8.Поясніть зміст таких термінів: план ЗЛП, штучні змінні, опорний план, М-задача, вільні змінні, базисні змінні, оптимальний план, повна та неповна штучна база.

11

2 РОЗВ`ЯЗАННЯ ТРАНСПОРТНИХ ЗАДАЧ

МЕТОДОМ ПОТЕНЦІАЛІВ

2.1 Мета роботи

Метою роботи є дослідження особливостей програмної реалізації розв'язання транспортних задач методом потенціалів.

2.2 Методичні вказівки до самостійної роботи студентів

Транспортна модель по суті являє собою задачу лінійного програмування,

яку можна розв'язати за допомогою симплекс-методу. Однак специфічна структура умов задачі дозволила розробити більш ефективні обчислювальні методи.

Т-задачу можна розв'язати розподільним методом, методом потенціалів,

диференціальних рент, розв'язувальних додатків тощо.

Розв'язання Т-задачі за допомогою ручних методів полягає у виконанні таких етапів: визначення початкового опорного плану задачі; оцінка цього плану; перехід до наступного, кращого плану шляхом заміни однієї з базисних змінних на вільну.

Існує декілька простих методів знаходження початкового опорного плану Т-задачі: північно-західного кута (діагональний); мінімальної вартості; подвійних позначок; Фогеля тощо.

Для визначення оптимального плату Т-задачі розроблено декілька методів, наприклад, метод потенціалів, метод диференціальних рент.

Метод потенціалів

Загальний принцип визначення оптимального плану Т-задачі методом потенціалів аналогічний до принципу розв'язання ЗЛП симплекс-методом, а

саме: з початку знаходять опорний план транспортної задачі, а потім його послідовно покращують до одержання оптимального Ішану. Для визначення опорного плану Х = транспортної задачі можна скористатись одним із методів, описаних вище. Ці методи гарантують отримання зайнятих у початковому плані n+m-1 кліток, причому в деяких з них можуть стояти нулі.

Отриманий план необхідно перевірити на оптимальність. Для цього скористаємося такою властивістю: якщо для деякого опорного плану

12

відправлення і пунктів призначення. Така властивість дозволяє побудувати алгоритм знаходження розв'язку транспортної задачі. Він полягає у такому:

нехай за допомогою одного з розглянутих вище методів знайдено опорний план Т-задачі. Для кожного з пунктів відправлення і призначення визначають

транспортної задачі.

Оскільки число заповнених кліток дорівнює n+m-1, то система (2.1) з n+m

невідомими містить n+m-1 рівнянь. Оскільки число невідомих перевищує на одиницю число рівнянь, будь-яке з невідомих можна припустити рівним будь-

якому числу, наприклад а1=О, і знайти послідовно з рівнянь (2.1) значення інших невідомих. Після того, як потенціали знайдені, для кожної з вільних

кліток визначають числа аij =. Якщо серед чисел аij нема додатних,

то знайдений опорний план є оптимальним. Якщо ж для деякої вільної клітки аij > О, то початковий опорний план не є оптимальним і необхідно перейти до нового опорного плану. Для цього розглядають всі вільні клітки, для яких аij >О, і серед даних чисел обирають максимальне. Клітка, якій це число відповідає, має бути заповнена.

Заповнюючи обрану клітку, необхідно змінити об'єми постачань, що записані в ряді інших зайнятих кліток і пов'язані із заповненою циклом. Циклом у таблиці умов Т-задачі називають ламану лінію, вершини якої розташовані у зайнятих клітках таблиці, а ланки вздовж рядків і стовпців, причому У кожній вершині циклу зустрічається рівно дві ланки, одна з яких знаходиться в рядку, а

інша – у стовпці. Якщо ламана лінія, що створює цикл, перетинається, то точки самоперетину не є вершинами.

При правильній побудові опорного плану для будь-якої змінної можна побудувати лише один цикл. Після того, як він побудований, слід перейти до іншого опорного плану. Для цього перемістити вантажі у межах кліток, пов'язаних із даною вільною кліткою.

13

Це переміщення здійснюють за такими правилами.

а) кожній з кліток, пов'язаних із даною вільною кліткою, приписують певний знак: для вільної клітки - знак плюс, а всім іншим – по черзі знаки мінус і плюс;

б) у дану вільну клітку розміщують менше з чисел xij, що знаходяться у мінусових клітках. Одночасно це число додають до відповідних чисел, що знаходяться у плюсових клітках. Клітка, яка раніше була вільною, буде зайнятою, а мінусова клітка, де знаходилось найменше з чисел xij, має бути звільненою.

Внаслідок наведених вище переміщень вантажів у межах кліток, пов'язаних циклом із даною вільною кліткою, визначають новий опорний план транспортної задачі.

Перехід від одного опорного плану до іншого називають зсувом по циклу перерахунку.

Слід позначити, що при зсуві по циклу перерахунку число зайнятих кліток залишається незмінним, а саме рівним n+m-1. Таким чином, якщо у мінусових клітках є два (або більше) однакових числа xij, то звільняють лише одну з таких кліток, а останні залишають зайнятими (з нульовими постачаннями).

Одержаний план Т-задачі перевіряють на оптимальність. Для цього визначають потенціали пунктів відправлення і призначення та знаходять числа аij = для всіх вільних кліток. Якщо серед цих чисел не виявиться від'ємних, то це свідчить про одержання оптимального плану. Якщо ж від'ємні числа мають місце, то слід перейти до нового опорного плану. Після обмеженої кількості ітерацій буде отримано оптимальний план задачі.

Отже, процес знаходження розв'язання транспортної задачі за допомогою методу потенціалів має такі етапи:

1)знаходять початковий опорний план. У ньому кількість зайнятих кліток має дорівнювати n+ т-1;

2)знаходять потенціали, відповідно до пунктів призначення і

відправлення; 3) для кожної вільної клітки визначають число Якщо серед чисел

немає від'ємних, то отримано оптимальний план Т-задачі, якщо ж вони є, то переходять до нового опорного плану;

4) серед додатних чисел обирають максимальне, будують для вільної клітки, якій воно відповідає, цикл перерахунку і здійснюють зсув по циклу перерахунку;

14

5) одержаний опорний план перевіряють на оптимальність, тобто знову

повторюють всі дії. починаючи з етапу 2.

2.3 Порядок виконання роботи

1.Адаптувати алгоритм розв'язання транспортних задач методом потенціалів для подальшої програмної реалізації.

2.Розробити застосування, що реалізує алгоритм розв'язання транспортних задач методом потенціалів і переконатися у коректності його роботи.

3.Розв'язати транспортну задачу, запропоновану викладачем, із використанням розробленого додатка.

2.4 Зміст звіту

Звіт має містити такі дані:

1.Назва роботи.

2.Мета роботи.

3.Опис особливостей програмної реалізації методу потенціалів.

4.Фрагмент проекту, що реалізує метод потенціалів.

5.Розв'язання транспортної задачі, запропонованої викладачем, із наведенням у звіті всіх проміжних результатів.

6.Висновки з роботи.

2.5Контрольні запитання і завдання

1.Що є метою при розв'язанні транспортної задачі?

2.Що таке початковий опорний Ішан?

3.Які вам відомі методи знаходження початкового опорного плану?

4.Якзнаходять початковий опорний план методом північно-західного кута?

5.Дайте обґрунтування методу потенціалів.

6.Дайте визначення потенціалів.

7.Як знаходять потенціали?

8.Які особливості алгоритму методу потенціалів?

15

3РОЗВ`ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ПРО ПРИЗНАЧЕННЯ

3.1Мета роботи

Метою роботи є вивчення методології адаптації методу потенціалів для розв'язання задач про призначення.

3.2 Методичні вказівки до самостійної роботи студентів

Семантична постановка задачі про призначення така: є m робіт і n верстатів. Потрібно призначити роботи верстатам таким чином, щоб або мінімізувати сумарні витрати, або максимізувати сумарний прибуток від виконання цих робіт.

Цей клас оптимізаційних задач є окремим випадком Т-задач. Тут роботи являють собою «початкові пункти», а верстати - «пункти призначення».

Пропозиція у кожному початковому пункті дорівнює 1, тобто a1=1 i.

Аналогічно, попит у кожному пункті призначення дорівнює 1, тобто bj=1 j. Вартість «перевезень (закріплення) - роботи і до верстата j дорівнює Cij. Якщо деяку роботу не можна виконувати на деякому верстаті, то відповідна вартість Cij має дорівнювати дуже великому числу. Модель такої задачі може бути проілюстрована табл. 3.1.

Задачу про призначення можна сформулювати так.

Нехай xij=0, якщо j-a робота не виконується на і-му верстаті і xij= 1, якщо j-a робота виконується на і-му верстаті.

Таблиця 3.1 -- Матрична модель задачі

16

Необхідно мінімізувати

за обмежень

Існують специфічні методи розв'язання задач про призначення. Але у цій лабораторній роботі потрібно брати до уваги той факт, що задача про призначення є окремим випадком транспортної задачі.

3.3 Порядок виконання роботи

1.Дослідити особливості розв'язання задач про призначення.

2.Розв'язати запропоноване викладачем завдання про призначення,

використовуючи програмне застосування, розроблене при виконанні другої лабораторної роботи.

3. Проаналізувати отримане рішення.

3.4 Зміст звіту

Звіт має містити такі дані:

1.Назва роботи.

2.Мета роботи.

3.Опис особливостей методу потенціалів.

4.Розв'язання задачі про призначення, запропонованої викладачем.

5.Висновки з роботи.

17

3.5Контрольні запитання і завдання

1.Дайте загальну характеристику задачі про призначення.

2.Наведіть приклад задачі про призначення.

3.Наведіть порядок її розв’язання.

4.Які відмінності задачі про призначення від транспортної задачі?

5.Яким завжди є опорний план задачі про призначення?

6.Яким є будь-який базисний розв’язок задачі про призначення?

7.Що є критерієм припинення процесу розв’язання задачі про призначення?

18

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примера и задачах. – М.:Высш.шк., 1986.-319 с.

2.Колпаков В.М. Теория и практика принятия управленческих решений. – К.: МАУП, 2000. – 256 с.

3.Кігель В.Р. Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіц. – К.: ЦУЛ, 2003. – 202 с.

4.Пономаренко В.С., Раєвнєва О.В., Стрижиченко К.А. Моделювання поведінки інвестора на фондах ринку. – Харків: ІНЖЕК, 2004. – 264 с.

5.Гвоздинський А.М., Якімова Н.А., Губін В.О. Методи оптимізації в системах прийняття рішень. Навч. посібник. – Харків: ХНУРЕ, 2006. – 324 с.

19

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторних робіт з дисципліни

«Математичні методи дослідження операцій» Для студентів денної форми навчання Напряму 6.0804 – «Комп’ютерні науки»

Упорядники: ГВОЗДИНСЬКИЙ Анатолій Миколайович ГУБІН Вадим Олександрович

Відповідальний випусковий Є.В Бодянський Редактор О.С. Бєлянінова Комп’ютерна верстка Л.Ю. Свєтайло

____________________________________________________________________

ХНУРЕ. Україна. 61166, Харків, просп. Леніна, 14

____________________________________________________________________

Віддруковано в навчально-науковому видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ 61166, Харків, просп. Леніна, 14

20