visshaya_matematika_chast_IV
.pdf§4. Індивідуальне завдання 2.4 |
121 |
|
|
2.Знайти повний диференціал функції z = arctg ( y − 4x) .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці |
K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : |
x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz − 2yz = 17; |
|||||||||||||||||||||||
K0 (−2; −1; |
2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. Заданафункція |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z = |
|
. Показати, щовоназадовольняєрів- |
||||||||||||||||||||||
|
(x2 − y2 )5 |
||||||||||||||||||||||||
няння |
|
1 ∂ z |
+ |
1 ∂ z |
= |
z |
; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ 2 z |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x ∂ x |
|
y∂ y |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x∂ y |
∂ ∂y x |
|
|||||||
|
5. Дослідити на екстремум функцію z = y x − 2 y2 − x +14 y . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
6. Знайти найбільше і найменше значення функції z = 3x + y − xy |
в |
|||||||||||||||||||||||
області D, обмеженій заданими лініями ( D : |
y = x, y = 4, x = 0 ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на |
||||||||||||||||||||||||
площині (x, y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) z = arcsin |
|
y −1 |
; |
|
б) z = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − |
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Знайти повний диференціал функції z = e3 y−4 x .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці |
K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) : |
x3 + 3xyz − z3 = 27; K |
0 |
(3; 1; 3) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Задана функція |
|
z = |
|
x2 |
+ |
|
x |
+ |
1 |
− |
1 |
. Показати, що вона задоволь- |
||||||||||
|
|
2 y |
2 |
x |
y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
няє рівняння x2 |
∂ z |
+ y2 ∂ |
z |
= |
x3 |
; |
перевірити справедливість рівності |
|||||||||||||||
|
∂ x |
|
|
∂ |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∂ 2 z .
∂x∂ y ∂ ∂y x
5.Дослідити на екстремум функцію z = x3 + 8y3 − 6xy + 5 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = xy − x − 2 y в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 3, y = x, y = 0 ).
Варіант №3
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині ( x, y) :
122 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
а) z = x − y ; |
б) z = y sin x . |
2.Знайти повний диференціал функції z = ln ( y2 − y + 4x) .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : ln z = x + 2 y − z + ln 3; K0 |
(1; 1; |
3) . |
|
|
||||||||
4. Задана функція z = x arctg( y x) . Показати, що вона задовольняє |
||||||||||||
рівняння x |
∂ z |
+ y |
∂ |
z |
= z ; перевірити справедливість рівності |
|
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
|
∂ x |
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
∂ |
|
|
∂ x∂ y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 1+15x − 2x2 − xy − 2y2 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= x2 + 2xy − 4x + 8y
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 2 ).
Варіант №4
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = ln (xy) ; |
б) z = sin (x2 + y2 ) . |
2.Знайти повний диференціал функції z = 3 x3 + y3 .
3.Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y) , заданоїне-
явно, уданійточці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : 2x2 + 2 y2 + z2 −8xz − z + 6 = 0; K0 |
(2; 1; 1) . |
|||||||||
4. Задана функція z = ln (x2 + y2 ) . Показати, що вона задовольняє |
||||||||||
рівняння |
∂ 2 z |
+ |
∂ 2 z |
= 0 ; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ x2 |
|
∂ y2 |
|
∂ x∂ y ∂ ∂y x |
|
||||
5. Дослідити на екстремум функцію z = 1+ 6x − x2 − xy − y2 . |
|
|
|
|
||||||
6. Знайти найбільше і найменше значення функції z = 5x2 − 3xy + y2 |
|
|||||||||
в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, |
y = 1 ). |
|
Варіант №5
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
§4. Індивідуальне завдання 2.4 |
123 |
|
|
|
|
а) z = x + x2 − y2 ; |
б) z = arcsin (x |
y2 ) + arcsin (1− y) . |
2.Знайти повний диференціал функції z = arcsin ( y − x) .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) : |
z2 = xy − z + x2 − 4; K |
0 |
(2; 1; 1) . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Задана функція |
z = arctg ( y |
x) . Показати, що вона задовольняє |
|||||||||||||||||||
рівняння |
∂ 2 z |
+ |
∂ |
2 z |
= 0 ; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
|||||||||||
∂ x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x∂ y |
∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію
z= x3 + y2 − 6xy − 39x +18y + 20 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= x2 + 2xy − y2 − 4x
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x − y +1 = 0, x = 3, y = 0 ).
Варіант №6
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на
площині (x, y) : |
|
|
||
а) z = |
4 |
; |
б) z = x sin y . |
|
x + y |
||||
|
|
|
2.Знайти повний диференціал функції z = arccos ( y + x) .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) : x3 + y3 + z3 − 3xyz = 4; K |
0 |
(2; 1; 1) . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Заданафункція z = ln (x2 + xy + y2 ) . Показати, щовоназадовольняє |
||||||||||||||||||
рівняння x |
∂ z |
+ y |
∂ |
z |
= 2 |
; перевірити справедливість рівності |
|
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
||||||
∂ x |
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x∂ y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 2x3 + 2 y3 − 6xy + 5 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= x2 + y2 − 2x − 2 y + 8
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, y = 0, x + y −1 = 0 ).
Варіант №7
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
124 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
а) z = 1− x2 − y2 ; |
б) z = cos (x2 + y2 ) . |
2.Знайти повний диференціал функції z = arcsin (xy) + x2 y3 .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : x2 + y2 + z2 − xy = 2; K0 (−1; 0; 1) .
4.Задана функція z = xy + xeyx . Показати, що вона задовольняє рів-
няння |
x |
∂ z |
+ y |
∂ |
z |
= xy + z ; перевіритисправедливістьрівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
||
∂ x |
|
|
y |
∂ x∂ |
|
|
|
||||||
|
|
∂ |
|
y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 3x3 + 3y3 − 9xy +10 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = 2x3 − xy2 + y2
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 6 ).
Варіант №8
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) |
z = arcsin ( y |
x) ; |
б) z = ctg (π (x+ y)) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Знайти повний диференціал функції z = xy − arctg (xy4 ) . |
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої |
|||||||||||||||
неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : |
3x − 2 y + z = xz + 5; K0 (2; 1; −1) . |
|
|
|||||||||||||
4. |
Задана функція z = ln ( |
x + |
y ) . Показати, що вона задовольняє |
|||||||||||||
рівняння |
x |
∂ z |
+ y |
∂ z |
= |
1 |
; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂ x |
∂ y |
2 |
∂ x∂ y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = x2 + xy + y2 + x − y +1 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= 3x + 6y − x2 − xy − y2
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 ).
Варіант №9
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = ln(x2 + y) ; |
б) z = arcsin x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 2.4 |
|
|
|
|
|
|
125 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2. Знайти повний диференціал функції z = |
3x2 − y5 − 4 y . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3. Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої |
||||||||||||||||||||||||
неявно, у даній точці |
K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) |
: |
ex + x + 2 y + z = 14; K |
0 |
(1; 1; 0) . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Задана функція z = |
|
x sin |
|
y |
. Показати, що вона задовольняє рів- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
няння |
x |
∂ z |
+ y |
∂ z |
= |
1 |
z ; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
|||||||||||||
∂ x |
|
|
2 |
∂ x∂ y |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 4(x − y) − x2 − y2 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= x2 − 2y2 + 4xy − 6x −1
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, y = 0, x + y − 3 = 0 ).
Варіант №10
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
|
|
а) |
|
z = x + arccos y ; |
|
б) z = tg(π (x+ y)) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2. Знайти повний диференціал функції z = x5 y7 − 2 |
xy + 5 . |
|
|||||||||||||||
|
|
3. |
Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої |
||||||||||||||||
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) : x2 + y2 + z2 − z − 4 = 0; |
K |
0 |
(1; 1; −1) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4. Задана функція z = ex |
y2 . Показати, щовоназадовольняє рівняння |
||||||||||||||||
2x |
∂ z |
+ y |
∂ |
z |
= 0 ; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
|
2 z |
. |
||||||||
∂ x |
|
|
y |
∂ x∂ y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 6(x − y) − 3x2 − 3y2 .
6.Знайти найбільшеінайменшезначенняфункції z = x2 + 2xy −10 в
області D, обмеженій заданими лініями ( D : y = 0, y = x2 − 4 ).
Варіант №11
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = 1 (x −1) +1 y ; |
б) z = ln (x2 y) y − x . |
126Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
2.Знайти повний диференціал функції z = ex 2 − y3 +9 .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y ; z |
0 |
) : z3 + 3xyz + 3y = 7; |
K |
0 |
(1; 1; 1) . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4. Задана функція |
z = x y . Показати, що вона задовольняє рівняння |
||||||||||||||
|
x ∂ z |
+ |
|
1 ∂ z |
= 2z ; перевірити справедливість рівності |
|
∂ |
2 z |
= |
∂ 2 z |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y ∂ x |
|
ln x∂ y |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x∂ y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = x2 + xy + y2 − 6x − 9 y .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = xy − 2x − y в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 3, y = 0, y = 4 ).
Варіант №12
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = ln(x + y) ; |
б) z = xy . |
2.Знайти повний диференціал функції z = ln ( y6 − 4x3 ) +13 .
3.Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y), заданоїнеяв-
но, у даній точці |
K |
|
(x ; y |
|
; z |
|
) : cos2 |
x + cos2 |
y + cos2 z = |
3 |
; |
K |
|
π |
; |
3π |
;π |
|
. |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4. Задана функція z = ex y ln y . Показати, що вона задовольняє рів-
няння |
x |
∂ z |
+ y |
∂ |
z |
= |
z |
; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
||
∂ x |
|
|
y |
ln y |
∂ x∂ |
|
|
|
|||||||
|
|
∂ |
|
|
y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = (x − 2)2 + 2y2 −10 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = 0,5x2 − xy в
області D, обмеженій заданими лініями ( D : y = 8, y = 2x2 ).
Варіант №13
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = 1− x2 + 1− y2 ; б) z = ln ( y − x2 + 2x) .
§4. Індивідуальне завдання 2.4 |
|
|
|
|
127 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Знайти повний диференціал функції z = |
x |
|
|
|
|||||||
|
. |
|
|
|
|||||||
y2 − x2 |
|
|
|
||||||||
3. Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої |
|||||||||||
неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : e |
z−1 |
= cos x cos y +1; K0 |
|
π |
|
||||||
|
0; |
|
; 1 . |
||||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Заданафункція z = |
|
|
|
. Показати, щовоназадовольняєрівняння |
|||||||
|
|
||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
∂ z |
+ y |
∂ |
z |
= 0 |
; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
||
∂ x |
|
|
y |
∂ x∂ |
|
|
|
||||||
|
∂ |
|
|
y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = (x − 5)2 + y2 +1.
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= 3x2 + 3y2 − 2x − 2y + 2
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, y = 0, x + y −1 = 0 ).
Варіант №14
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = x + y + x − y ; б) z = ln x + ln cos y .
2.Знайти повний диференціал функції z = tg xy .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) : |
x2 + y2 + z2 − 6x = 0; K |
0 |
(1; 2; 1) . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Задана функція z = |
x2 + y2 |
. Показати, що вона задовольняє рів- |
||||||||||||||||||||
|
|
∂ z 2 |
|
∂ |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
|
|||
няння |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 1 ; перевірити справедливість рівності |
|
|
|
. |
||||||||||
|
∂ |
|
∂ x∂ y |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∂ x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = x3 + y3 − 3xy .
6.Знайти найбільшеінайменшезначенняфункції z = 2x2 + 3y2 +1 в
області D, обмеженій заданими лініями ( D : y = |
9 − |
9 |
x |
2 |
, y = 0 ). |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
128 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
Варіант №15
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = |
1 |
+ |
1 |
; б) z = ln x + ln y . |
x + y |
x − y |
2.Знайти повний диференціал функції z = tg2 xy .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y ; z |
0 |
) : |
xy = z2 −1; K |
0 |
(0; 1; −1) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Задана функція z = e |
x 2 |
|
|
|
|
π |
− |
y |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
. Показати, що вона задоволь- |
|||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ z |
|
∂ z 2 |
|
1 |
|
x |
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
няє рівняння |
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
e |
|
sin |
|
|
|
; |
перевірити справедливість рівності |
||||||
∂ x |
∂ |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∂ 2 z .
∂x∂ y ∂ ∂y x
5.Дослідити на екстремум функцію z = 2xy − 2x2 − 4 y2 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= x2 − 2xy − y2 + 4x +1
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = −3, y = 0, x + y +1 = 0 ).
Варіант №16
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = 1− |
x2 |
− |
y2 |
; |
б) z = ln(x2 + y2 − 2x − 4y + 4) . |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
2.Знайти повний диференціал функції z = sin xy cos xy .
3.Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y) , заданоїне-
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
явно, уданійточці K0 |
(x0 ; y0 |
; z0 ): x cos y + y cos z + z cos x = |
|
; |
K0 |
0; |
|
; π |
. |
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 2.4 |
|
|
129 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4. Заданафункція z = |
xy |
. Показати, щовоназадовольняєрівняння |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
∂ 2 z |
∂ 2 z ∂ |
2 z |
2 |
|
|
|
∂ 2 z |
∂ 2 z |
||||
|
|
+ 2 ∂ x∂ y +∂ |
|
|
= |
|
; перевіритисправедливістьрівності |
|
=∂ |
∂y x . |
|||
|
∂ x2 |
|
y2 |
x− y |
∂ x∂ y |
||||||||
|
|
5. |
Дослідити на екстремум функцію z = x y − x2 − y + 6x + 3 . |
|
|||||||||
|
|
6. |
Знайти найбільше і найменше значення функції |
|
|
|
z= 3x2 + 3y2 − x − y +1
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 5, y = 0, x − y −1 = 0 ).
Варіант №17
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на
площині (x, y) : |
|
а) z = 1 (x2 − y2 ) ; |
б) z = ln(x2 + y2 ) . |
2.Знайти повний диференціал функції z = ( y2 − x2 )( y2 + x2 ) .
3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y |
0 |
; z |
0 |
) : x2 − 2y2 + 3z2 − yz + y = 2; K |
0 |
(1; 1; 1) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Задана функція |
z = ln(ex + ey ) . Показати, що вона задовольняє |
|||||||||||||||||||
рівняння |
∂ z |
+ |
∂ |
z |
= 1 ; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∂ x |
|
∂ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x∂ y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 2xy − 5x2 − 3y2 + 2 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= 2x2 + 2xy − 12 y2 − 4x
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : y = 2x, y = 2, x = 0 ).
Варіант №18
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = 2 − x2 − 2y2 ; б) z = arcsin (1 xy ) .
2. Знайти повний диференціал функції z = arccos ( y x) .
130 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
|
|
3. Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , |
заданої |
||||||||||||||||
неявно, у даній точці K |
0 |
(x ; y ; z |
0 |
) : x2 + y2 + z2 + 2xz = 5; |
K |
0 |
(0; 2; 1) . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4. Задана функція z = xy yx . Показати, щовоназадовольняє рівняння |
|||||||||||||||||
|
∂ z |
∂ |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
|
||
x |
|
+ y |
|
|
= (x + y + ln z)z ; перевірити справедливість рівності |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
∂ x |
∂ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x∂ y ∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = 2xy − 5x2 − 3y2 + 2 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції
z= x2 − 2xy + 52 y2 − 2x
вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 2, y = 0, y = 2 ).
Варіант №19
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на
площині (x, y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) |
z = arccos (x2 + y2 ) ; |
б) z = y cos 2x . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. Знайти повний диференціал функції z = x sin (x |
y) . |
|
|
|
|
|||||||||
|
3. Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y) , заданоїнеяв- |
||||||||||||||
но, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ): 3x2 y2 + 2xyz2 − 2x3 z + 4y3 z = 4; |
K0 (2; 1; 2). |
||||||||||||||
|
4. |
Задана функція z = ex cos y . Показати, що вона задовольняє рів- |
|||||||||||||
няння |
|
∂ |
2 z |
+ |
∂ |
2 z |
= 0 ; перевірити справедливість рівності |
∂ 2 z |
= |
∂ |
2 z |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ x2 |
∂ |
y2 |
∂ x∂ y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂ ∂y x |
|
5.Дослідити на екстремум функцію z = xy − x2 − y2 + 9 .
6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = xy − 3x − 2 y в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 4, y = 0, y = 4 ).
Варіант №20
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :
а) z = x2 − y2 ; |
б) z = 1 xy . |