курсовая

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Лагранжа.

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

[править] Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных сводится к первому

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a_n(t)z⁽ⁿ⁾(t) + a_{n − 1}(t)z^{(n − 1)}(t) + ... + a₁(t)z'(t) + a₀(t)z(t) = f(t)

Метод состоит в замене произвольных постоянных c_k в общем решении

z(t) = c₁z₁(t) + c₂z₂(t) + ... + c_nz_n(t)

соответствующего однородного уравнения

a_n(t)z⁽ⁿ⁾(t) + a_{n − 1}(t)z^{(n − 1)}(t) + ... + a₁(t)z'(t) + a₀(t)z(t) = 0

на вспомогательные функции c_k(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z₁,z₂,...,z_n, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если  — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

[править] Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z(t) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t₀ имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z(t)Z ^{− 1}(τ) называется матрицей Коши оператора L = A(t).

 Определение квадратичной формы

     Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

     Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

     Матричная запись квадратичной формы

     Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

     Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

     В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

     В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

  Канонический вид квадратичной формы

     Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

     Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

     1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

     2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

     3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

  Нормальный вид квадратичной формы

     Для действительной квадратичной формы

где r = rank A.

     Для комплексной квадратичной формы

    r = rank A.

     Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.

     Классификация действительных квадратичных форм      Положительно-определенные

     Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).

     Отрицательно-определенные

     Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда

     Положительно-полуопределенные

     Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

     Отрицательно-полуопределенные

     Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

     Неопределенные

     Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.