2.2 Расчет сложных цепей постоянного тока
В ходе расчёта сложной цепи необходимо определить некоторые электрические параметры (в первую очередь токи и напряжения на элементах) на основе исходных величин, заданных в условии задачи. На практике используются несколько методов расчёта таких цепей.
Для определения токов ветвей можно использовать: метод, базирующийся на основании непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых напряжений.
Для проверки правильности вычисления токов необходимо составить баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма мощностей всех источников питания цепи равна арифметической сумме мощностей всех потребителей.
Мощность источника питания равна произведению его ЭДС на величину тока, протекающего через данный источник. Если направление ЭДС и тока в источнике совпадают, то мощность получается положительной. В противном случае она отрицательна.
Мощность потребителя всегда положительна и равна произведению квадрата тока в потребителе на величину его сопротивления.
Математически баланс мощностей можно записать в следующем виде:
где n – количество источников питания в цепи; m – количество потребителей.
Если баланс мощностей соблюдается, то расчет токов выполнен правильно.
В процессе составления баланса мощностей можно выяснить, в каком режиме работает источник питания. Если его мощность положительна, то он отдает энергию во внешнюю цепь (например, как аккумулятор в режиме разряда). При отрицательном значении мощности источника последний потребляет энергию из цепи (аккумулятор в режиме заряда).
Соединение звездой и треугольником
Электрические цепи, состоящие из приемников энергии (резисторов), соединенных последовательно, параллельно или смешанно при питании их от одного источника электрической энергии (рис. 2.4—2.7), а также цепи, содержащие одни контур (рис. 1.17, 1.20), принято называть простыми цепями. При заданных ЭДС (напряжениях) источников питания и сопротивлениях токи и напряжения на всех участках простой цепи можно определить, пользуясь законом Ома и первым законом Кирхгофа (§ 2.1).
Разветвленные электрические цепн, имеющие несколько контуров с произвольным размещением потребителей и источников питания, относятся к сложным цепям, если их нельзя рассчитать, применяя только закон Ома и первый закон Кирхгофа. Методы расчета сложных цепей рассмотрены ниже.
Схему еоедииения трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами А, Б, В (рис. 2.8, а), называют треугольником.
В некоторых случаях расчет сложной цепи значительно упрощается, если треугольник сопротивлений заменить звездой сопротивлений, т. е. тремя ветвями, имеющими дополнительный общий узел О (рис 2.8,6). В других случаях расчета цепей встречается необходимость звезду заменить треугольником. Эти взаимные замены треугольника и звезды сопротивлений должны быть эквивалентными, т. е. при соответственно равных напряжениях между вершинами А, Б и В треугольника и звезды токи IA, IБ, 1В в подводящих проводах, соединяющих эти вершины с остальной частью цепи, должны остаться без изменений. Равенство токов должно выполняться при любых изменениях и переключениях в остальной части цепи и, в частности, при обрывах некоторых ее ветвей.
Рис 2.8 Соединение резисторов треугольником (а) и звездой (б)
Сопротивления эквивалентной звезды rа, rб, rв находятся в определенных соотношениях с сопротивлениями треугольника rаб, rбв, rва. Для выяснения этой зависимости допустим сначала, что в вершине А произошел обрыв подводящего провода и, следовательно, ток Iа=0. Сопротивления между двумя оставшимися присоединенными вершинами Б и В для обеих схем должны быть одинаковы, чтобы были соответственно равны токи IБ и Iв в обеих схемах. После обрыва в вершине А сопротивления rб и rвв звезде соединены последовательно, а в треугольнике сопротивления rВА и rАБ соединенные последовательно, образуют одну ветвь с суммарным сопротивлением rВА + rАБ, параллельно которой подключено сопротивление rБв. Поэтому можно написать
(2.14)
где принята во внимание формула расчета эквивалентного сопротивления двух параллельно включенных резисторов (2.11).
Рассуждая аналогично для случая обрыва в вершине Б, при котором ток IБ = 0, а затем провода В, при котором ток Iв=0, получим аналогичные выражения:
(2 .15)
(2.16)
Чтобы преобразовать треугольник в звезду при заданных сопротивлениях сторон треугольника rаб,rбв, rва,требуется определить сопротивления лучей эквивалентной звезды rа, rб, rв . Для этого составим полусумму левых и правых частей уравнений (2.15) и (2.16):
и вычтем из полученного выражения уменьшенные вдвое левую и правую части (2.14). В результате получим
(2.17)
Аналогично получим
(2.18)(2.19)
Таким образом, сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух сторон треугольника, которые присоединены к той же вершине, что и луч звезды, деленному на сумму сопротивлений, всех сторон треугольника.
Если сопротивления треугольника равны друг другу: rаб = rбв=rва=rΔ, то будут равны друг другу и сопротив
ления звезды, т. е. rа = rб=rв=r λ, причем из формул (2.17)—(2.19) получается простое соотношение
(2.20)
При обратном преобразовании звезды в эквивалентный треугольник, т. е. при заданных сопротивлениях rа,rб, rв, надо решить три уравнения (2.17)—(2 19) относительно сопротивлений rаб, rбв:
(2.21)
(2.22 (2.23)
Таким образом, сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух лучей звезды, присоединенных к тем же вершинам, что и сторона треугольника, и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды.
Пример 2.3. Определить токи в ветвях мостовой схемы (рис. 2.9), если известны параметры цепи: E=4,4 В, r1=20 Ом, r2=60 Ом, r3= 120 Ом, r4=8 Ом, r5=44 Ом.
Рис 2.10. Преобразованная мос- Рис. 2.9. Мостовая схема
товая схема
Решение:заменив один из треугольников схемы, например АБГ, образованный сопротивлениями r1, r2, r3, эквивалентной звездой, сопротивление лучей которой га, rа, rб и rв, получим простую схему смешанного соединения элементов (рис. 2.10).
Найдем сопротивления лучей звезды.
Эквивалентное сопротивление участка (рис. 2.10), состоящего из сопротивления rа и двух параллельных ветвей r4+rби r5+rГ
Ток в неразветвленной части схемы (рис. 2.10)
I=E/r=4,4/22 = 0,2 А.
Тор в ветви с сопротивлениями r4 ,rбнаходим но формулам «разброса» общего тока (2.12):
Для определения ток&в I1, I2, I3, которых нет в преобразованной схеме (рис 2.10), найдем потенциалы узлов Г и Б.
Наряжение на сопротивлении r4
Напряжение на сопротивлении r5
Полагая потенциал точки В равным нулю, получаем
Напряжение на диагонали моста ГБ
Переходя к схеме рис 2.9, найдем токи ветвей в преобразованной части моста.
Рассчитаем схему приведенную на рисунке 2.10.Результаты заносим в таблицу 2.1
Рисунок 2.10
Табл.2.1- Результаты расчетов
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
X |
12 |
2 |
1.6 |
|
2 |
5 |
X |
7 |
17 |
|
3 |
2 |
1.7 |
X |
10 |
|
4 |
1.4 |
2 |
7 |
X |