2.Алгоритми
2.1Сортуванняметодом бульбашки
Розташуємо масив зверху вниз, від нульового елемента - до останнього.
Ідея методу: крок сортування полягає в проході знизу вгору по масиву. По дорозі проглядаються пари сусідніх елементів. Якщо елементи деякої пари знаходяться в неправильному порядку, то міняємо їх місцями (Рис. 2.1).
Рисунок 2.1 – Принцип роботи сортування методом бульбашки
Після нульового проходу по масиву "вгорі" виявляється самий "легкий" елемент - звідси аналогія з бульбашкою .Наступний прохід робиться до другого зверху елемента, таким чином другий за величиною елемент піднімається на правильну позицію.
Робимо проходи по все зменшується нижній частині масиву до тих пір, поки в ній не залишиться тільки один елемент. На цьому сортування закінчується, так як послідовність упорядкована за зростанням.(Рис.2.2)
Рисунок 2.2 – Результат нульового кроку сортування
Середнє число порівнянь та обмінів мають квадратичний порядок зростання: Theta (n2), звідси можна зробити висновок, що алгоритм бульбашки дуже повільний і малоефективний.
Тим не менш, у нього є величезний плюс: він простий і його можна по-всякому покращувати. Чим ми зараз і займемося.
По-перше, розглянемо ситуацію, коли на якому-небудь з проходів не відбулося жодного обміну. Що це означає?
Це означає, що всі пари розташовані в правильному порядку, так що масив вже відсортований. І продовжувати процес не має сенсу (особливо, якщо масив був відсортований з самого початку!).
Отже, перше поліпшення алгоритму полягає в запам'ятовуванні, чи проводився на даному проході який-небудь обмін. Якщо ні - алгоритм закінчує роботу.
Процес поліпшення можна продовжити, якщо запам'ятовувати не тільки сам факт обміну, але і індекс останнього обміну k. Дійсно: всі пари сусіди елементів з індексами, меншими k, вже розташовані в потрібному порядку. Подальші проходи можна закінчувати на індексі k, замість того щоб рухатися до встановленої заздалегідь верхньої межі i.
Якісно інше поліпшення алгоритму можна отримати з наступного спостереження. Хоча легкий бульбашка знизу підніметься наверх за один прохід, важкі бульбашки опускаються зі мінімальною швидкістю: один крок за ітерацію. Так що масив 2 3 4 5 6 1 буде відсортований за 1 прохід, а сортування послідовності 6 1 2 3 4 5 зажадає 5 проходів.
Щоб уникнути подібного ефекту, можна змінювати напрямок наступних один за іншим проходів. Одержаний алгоритм іноді називають "шейкер-сортуванням".
Наскільки описані зміни вплинули на ефективність методу? Середня кількість порівнянь, хоч і зменшилася, але залишається O (n2), в той час як число обмінів не помінялося взагалі ніяк. Середнє (воно ж найгірше) кількість операцій залишається квадратичним.
Додаткова пам'ять, очевидно, не потрібно. Поведінка удосконаленого (але не початкового) методу досить природне, майже відсортований масив буде відсортований набагато швидше випадкового. Сортування бульбашкою стійка, проте шейкер-сортування втрачає цю якість.
На практиці метод бульбашки, навіть з поліпшеннями, працює, на жаль, занадто повільно. А тому - майже не застосовується.
2.2 Сортування методом Шелла
Сортування Шелла є досить цікавою модифікацією алгоритму сортування простими вставками.
Розглянемо наступний алгоритм сортування масиву a [0] .. a [15] (Рис.2.3).
Рисунок 2.3 – Початковий стан масиву а
Спочатку сортуємо простими вставками кожні 8 груп з 2-х елементів (a [0], a [8 [), (a [1], a [9]), ... , (а [7], a [15]) (Рис. 5.4).
Рисунок 2.4 – Схема роботи методу сортування Шелла
Потім сортуємо кожну з чотирьох груп по 4 елемента (a [0], a [4], a [8], a [12]), ..., (a [3], a [7], a [11] , a [15]) (Рис. 2.5).
Рисунок 2.5 – Другий шаг сортування
В нульової групи будуть елементи 4, 12, 13, 18, в першій - 3, 5, 8, 9 тощо.
Далі сортуємо 2 групи по 8 елементів, починаючи з (a [0], a [2], a [4], a [6], a [8], a [10], a [12], a [14] ) (Рис. 2.6).
Рисунок 2.6 – Сортування груп елементів
В кінці сортуємо вставками всі 16 елементів (Рис. 2.7).
Рисунок 2.7 – Результат сортування методом Шелла
Очевидно, лише останнє сортування необхідне, щоб розташувати всі елементи по своїх місцях. Так навіщо потрібні інші?
Насправді вони просувають елементи максимально близько до відповідних позицій, так що в останній стадії число переміщень буде вельми невелика. Послідовність і так майже відсортована. Прискорення підтверджено численними дослідженнями і на практиці виявляється досить суттєвим.
Єдиною характеристикою сортування Шелла є приріст - відстань між сортованими елементами, в залежності від проходу. В кінці прирощення завжди дорівнює одиниці - метод завершується звичайної сортуванням вставками, але саме послідовність збільшень визначає зростання ефективності.
Використаний в прикладі набір ..., 8, 4, 2, 1 - непоганий вибір, особливо, коли кількість елементів - ступінь двійки.
При використанні таких приростів середня кількість операцій: O (n7 / 6), в гіршому випадку - порядку O (n4 / 3).
Звернемо увагу на те, що послідовність обчислюється в порядку, протилежному використовуваному: inc [0] = 1, inc [1] = 5, ... Формула дає спочатку менші числа, потім все більші і більші, у той час як відстань між сортованими елементами, навпаки, має зменшуватися. Тому масив приростів inc обчислюється перед запуском власне сортування до максимальної відстані між елементами, яке буде першим кроком в сортуванні Шелла. Потім його значення використовуються в зворотному порядку.
2.3 Швидке сортування
Опис алгоритму:
вибрати елемент, званий опорним.
порівняти всі інші елементи з опорним, на підставі порівняння розбити безліч на три - «менші опорного», «рівні» та «великі», розташувати їх у порядку менші-рівні-великі.
повторити рекурсивно для «менших» і «великих».
Примітка: на практиці звичайно поділяють сортовані безліч не на три, а на дві частини: наприклад, «менші опорного» і «рівні і великі». Такий підхід в загальному випадку виявляється ефективніше, тому що для здійснення такого поділу достатньо одного проходу по сортованому безлічі і однократного обміну лише деяких обраних елементів.
Алгоритм швидкого сортування використовує стратегію «розділяй і володарюй». Кроки алгоритму наступні:
Вибираємо в масиві деякий елемент, який будемо називати опорним елементом. З точки зору коректності алгоритму вибір опорного елемента байдужий. З точки зору підвищення ефективності алгоритму вибиратися повинна медіана, але без додаткових відомостей про сортованих даних її зазвичай неможливо отримати. Відомі стратегії: вибирати постійно один і той же елемент, наприклад, середній або останній по положенню; вибирати елемент з випадково вибраним індексом.
Операція поділу масиву: реорганізуємо масив таким чином, щоб всі елементи, менші або рівні опорному елементу, виявилися зліва від нього, а всі елементи, великі опорного - праворуч від нього. Звичайний алгоритм операції:
Два індексу - l і r, прирівнюються до мінімального і максимального індексу розділяється масиву відповідно.
Обчислюється індекс опорного елемента m.
Індекс l послідовно збільшується до тих пір, поки l-й елемент не перевищить опорний.
Індекс r послідовно зменшується до тих пір, поки r-й елемент не виявиться менше або дорівнює опорному.
Якщо r = l - знайдена середина масиву - операція поділу закінчена, обидва індекси вказують на опорний елемент.
Якщо l <r - знайдену пару елементів потрібно обміняти місцями і продовжити операцію поділу з тих значень l і r, які були досягнуті. Слід врахувати, що якщо яка-небудь кордон (l або r) дійшла до опорного елемента, то при обміні значення m змінюється на r-й або l-й елемент відповідно.
Рекурсивно упорядковуємо подмассіва, що лежать ліворуч і праворуч від опорного елемента.
Базою рекурсії є набори, що складаються з одного або двох елементів. Перший повертається в початковому вигляді, в другому, при необхідності, сортування зводиться до перестановки двох елементів. Всі такі відрізки вже впорядковані в процесі поділу.
Оскільки в кожній ітерації (на кожному наступному рівні рекурсії) довжина оброблюваного відрізка масиву зменшується, щонайменше, на одиницю, термінальна гілку рекурсії буде досягнута завжди і обробка гарантовано завершиться.
QuickSort є істотно поліпшеним варіантом алгоритму сортування за допомогою прямого обміну (його варіанти відомі як «Бульбашкова сортування» та «Шейкерная сортування»), відомого, зокрема, своєї низькою ефективністю. Принципова відмінність полягає в тому, що після кожного проходу елементи діляться на дві незалежні групи. Цікавий факт: поліпшення самого неефективного прямого методу сортування дало в результаті ефективний покращений метод.
Кращий випадок. Для цього алгоритму найкращий випадок - якщо в кожній ітерації кожен з підмасивів ділився б на два рівних по величині масиву. В результаті кількість порівнянь, які робить швидкої сортуванням, було б дорівнює значенню рекурсивного вираження CN = 2CN / 2 + N, що в явному вираженні дає приблизно N lg N порівнянь. Це дало б найменший час сортування.
Середнє. Дає в середньому O (n log n) обмінів при упорядкуванні n елементів. В реальності саме така ситуація зазвичай має місце при випадковому порядку елементів і виборі опорного елемента з середини масиву або випадково.
На практиці (у випадку, коли обміни є більш витратною операцією, ніж порівняння) швидке сортування значно швидше, ніж інші алгоритми з оцінкою O (n lg n), через те, що внутрішній цикл алгоритму може бути ефективно реалізований майже на будь-архітектурі. 2CN / 2 покриває витрати по сортуванню двох отриманих підмасива; N - це вартість обробки кожного елемента, використовуючи один або інший вказівник. Відомо також, що приблизне значення цього виразу одно CN = N lg N.
Найгірший випадок. Найгіршим нагодою, очевидно, буде такою, при якому на кожному етапі масив буде розділятися на вироджений підмасив з одного опорного елемента і на підмасив з усіх інших елементів. Таке може статися, якщо як опорного на кожному етапі буде обраний елемент або найменший, або найбільший з усіх оброблюваних.
Найгірший випадок дає O (n ²) обмінів. Але кількість обмінів і, відповідно, час роботи - це не найбільший його недолік. Гірше те, що в такому випадку глибина рекурсії при виконанні алгоритму досягне n, що буде означати n-кратне збереження адреси повернення і локальних змінних процедури поділу масивів. Для великих значень n найгірший випадок може привести до вичерпання пам'яті під час роботи алгоритму. Втім, на більшості реальних даних можна знайти рішення, які мінімізують ймовірність того, що знадобиться квадратичне час.
2.4Сортування вибором
Ідея методу полягає в тому, щоб створювати відсортовану послідовність шляхом приєднання до неї одного елемента за іншим у правильному порядку.
Будемо будувати готову послідовність, починаючи з лівого кінця масиву. Алгоритм складається з n послідовних кроків, починаючи від нульового і закінчуючи (n-1)-му.
На i-му кроці вибираємо найменший з елементів a [i] ... a [n] і міняємо його місцями з a [i]. Послідовність кроків при n = 5 зображена на Рис. 2.8.
Рисунок 2.8 – Приклад сортування вибором
Незалежно від номера поточного кроку i, послідовність a [0] ... a [i] (виділена курсивом) є впорядкованою. Таким чином, на (n-1)-му кроці вся послідовність, крім a [n] виявляється відсортованої, а a [n] стоїть на останньому місці по праву: все менші елементи вже пішли вліво.
Для знаходження найменшого елемента з n + 1 ,що розглядаються,алгоритм робить n порівнянь. З урахуванням того, що кількість розглянутих на черговому кроці елементів зменшується на одиницю, загальна кількість операцій обчислюється за формулою (2.1):
(2.1)
Таким чином, так як число обмінів завжди буде менше числа порівнянь, час сортування зростає квадратично щодо кількості елементів.
Алгоритм не використовує додаткової пам'яті: всі операції відбуваються "на місці".
Розглянемо послідовність з трьох елементів, кожен з яких має два поля, а сортування йде за першою з них (Рис. 2.9).
Рисунок 2.9 – Сортування масивів з двома полями
Результат її сортування можна побачити вже після кроку 0, так як більше обмінів не буде. Порядок ключів 2a, 2b був змінений на 2b, 2a, так що метод нестійкий.
Якщо вхідні послідовність майже впорядкована, то порівнянь буде стільки ж, значить алгоритм поводиться неприродно.
2.5Сортування вставками
Сортування простими вставками в чомусь схожа на вищевикладені методи.
Аналогічним чином робляться проходи по частині масиву, і аналогічним же чином на його початку "виростає" відсортована послідовність.
Однак у сортуванні бульбашкою або вибором можна було чітко заявити, що на i-му кроці елементи a [0] ... a [i] стоять на правильних місцях і нікуди більше не перемістяться. Тут же подібне твердження буде більш слабким: послідовність a [0] ... a [i] впорядкована. При цьому по ходу алгоритму в неї будуть вставлятися (див. назву методу) все нові елементи.
Будемо розбирати алгоритм, розглядаючи його дії на i-му кроці. Як говорилося вище, послідовність до цього моменту розділена на дві частини: готову a [0] ... a [i] і невпорядковану a [i +1] ... a [n].
На наступному, (i +1)-м кожному кроці алгоритму беремо a [i +1] і вставляємо на потрібне місце в готову частину масиву.
Пошук відповідного місця для чергового елемента вхідної послідовності здійснюється шляхом послідовних порівнянь з елементом, що стоять перед ним.
В залежності від результату порівняння елемент або залишається на поточному місці (вставка завершена), або вони міняються місцями і процес повторюється (Рис. 2.10).
Рисунок 2.10 – Процес сортування вставками
Таким чином, в процесі вставки ми "просіваємо" елемент x до початку масиву, зупиняючись у випадку, коли знайдено елемент, менший x або досягнуто початок послідовності.
Аналогічно сортуванні вибором, середнє, а також найгірше число порівнянь і пересилань оцінюються як Theta (n2), додаткова пам'ять при цьому не використовується.
Хорошим показником сортування є дуже природна поведінка: майже відсортований масив, буде дуже швидко відсортовано. Це, вкупі зі стійкістю алгоритму, робить метод хорошим вибором у відповідних ситуаціях.
Алгоритм можна злегка поліпшити. Зауважимо, що на кожному кроці внутрішнього циклу перевіряються 2 умови. Можна об'єднати з в одне, поставивши в початок масиву спеціальний сторожовий елемент. Він повинен бути свідомо менше всіх інших елементів масиву. Тоді при j = 0 буде свідомо вірно a [0] <= x. Цикл зупиниться на нульовому елементі, що й було метою умови j> = 0.
Таким чином, сортування відбуватиметься правильним чином, а у внутрішньому циклі стане на одне порівняння менше. З урахуванням того, що воно проводилося Theta (n2) раз, це - реальна перевага. Однак, відсортований масив буде не повний, так як з нього зникло перше число. Для закінчення сортування це число слід повернути назад, а потім вставити в відсортовану послідовність a [1] ... a [n] (Рис. 2.11).
Рисунок 2.11 – Закінчення процесу сортування