16. Что такое интервал неопределенности?

17. В чем состoит minmax стратегия поиска минимума на интервале неопределенности?

18. Какие преимущества и недостатки пассивных методов?

В отличие от аналитических, численные методы предусматривают многократное вычисление значений целевой функции и, в случае необходимости, других ее характеристик, например, производных, в разных точках допустимого множества решений, т.е. при разных значениях независимых переменных. Согласно этой информации с большей или меньшей точностью определяется экстремум функции. Такой подход является более трудоемким в сравнении с аналитическим и предполагает, что пользователь имеет в своем распоряжении достаточно большие вычислительные ресурсы.

Численные методы поиски экстремумов делят на 2 класса: пассивные и активные

Основная идея пассивных методов заключается в выборе некоторого количества точек, которые регулярно или случайно располагаются на множестве возможных решений. Это означает, что для каждой точки задаются координаты, т.е. значение многомерной независимой переменной. Потом в каждой точке вычисляется значение целевой функции и точка с минимальным значением является экстремумом функции.

Очевидными являются такие особенности пассивных методов : они в общем случае не гарантируют определения точного значения экстремума функции, точность определения которого зависит от количества точек и их размещения; методы имеют большую трудоемкость.

Альтернативными являются активные методы. Их принципиальное отличие от пассивных заключается в построение последовательности точек, которая целенаправленно приводит в окружение экстремума функции. Такая последовательность значений независимой переменной называется траекторией движения к экстремуму.

При активном методе координаты каждой следующей точки траектории движения к экстремуму определяются на основании анализа значения целевой функции и зависимо от метода, значений тех или иных характеристик в одной или группе предыдущих точек. Каждая последующая точка траектории выбирается таким образом, чтобы обязательно выполнялось условие

Такие последовательности называются релаксационными, а методы их построения – методами спуска. Релаксационная последовательность гарантирует приближение к экстремуму.

Активные и пассивные численные методы поиска экстремума не гарантируют в общем случае точного значения оптимума, а только помогают найти приближенное значение в близких окрестностях экстремума, причем эти окрестности могут быть как угодно малы.

19. Опишите схему метода разделения интервала пополам

20. Сформулируйте метод золотого сечения. В чем его отличие от метода разделения интервала пополам?

21. Как можно сравнить эффективность различных методов исключения интервалов?

Методы исключения интервалов сравниваются по размерам относительного уменьшения интервалов, и по количеству вычислений значений функции.

В качестве показателя эффективности примем относительное уменьшение выходного интервала .

21. Сформулировать и объяснить задачу безусловной оптимизации функции нескольких переменных

В случае безусловной оптимизации, множество решений Х совпадает с областью существования целевой функции f(x), то есть x  Rⁿ и не ограничена никакими дополнительными условиями.

Задача безусловной оптимизации принимает вид:

23. Какие методы относятся к методам прямого поиска (нулевого порядка)?

Для реализации методов прямого поиска нужны только значение целевой функции. Пусть целевая функция f(x) может быть вычислена в любой точкеx Є Rᶰ и есть унимодальной в рассматриваемой области.

Методы прямого поиска:

- метод сеток;

- метод покоординатного спуска;

- модификации метода покоординатного спуска;

- метод поиска по симплексу (метод многогранника);

- метод деформированного многогранника;

- метод случайного поиска.

Общие особенности указанных методов заключаются в простоте соответствующих вычислительных процедур, которые легко реализуются и эффективно функционируют

23. В чем суть пассивной стратегии поиска экстремума?

Основная особенность пассивных методов заключается в том, что на этапе подготовки задачи к решению определяется необходимое число экспериментов n и стратегия их проведения. Далее все Опыты выполняются одновременно. Согласно полученным результатам по формуле:

=(,…)=

определяется зона неопределенности, внутри которой находится оптимум .

Простейшая пассивная стратегия проведения n экспериментов (метод равномерного поиска) состоит в разбивании исходного интервала неопределенности на равные отрезки Δ, число которых в этом случае равна (n+1), а Δ=. Тогда зона неопределенности согласно той же формуле будет равна. Если задана нужна точность определения экстремума, нетрудно решить обратную задачу и задать для ее обеспечения количество экспериментов:.

Для реализации пассивных стратегий потребуется гораздо больше вычислительных ресурсов, чем для активных. Несмотря на это, они используются на практике, когда наряду с определением экстремум функции требуется визуализация ее графика на выделенном интервале; исследованию подлежат функции, отличные от унимодальных, в том числе многоэкстремального, в этом случае находятся все локальные экстремумы.

Альтернативойпсивним методам являются активные стратегии поиска экстремума. их особенность заключается в том что, каждый следующий эксперимент планируется с учетом информации, полученной на предыдущих шагах поиска. Это предопределяет существенное повышение эффективности процедур поиска экстремума.