3 Тема

1. Знаходження НОД і НОК.

Пустьимеетсяnцелых чисел: а1,а2…аn. Общим кратным этих чисел называется целое число, которое делится нацело на каждое их этих чисел. Наименьшее из этих общих кратных называется наименьшим общим кратным чисел а1, а2,…аn и обозначается НОК(а1,а2,…,аn) или[a1,a2,…,an]

Пустьимеетсяnцелых чисел: а1,а2…аn. Общим делителем этих чисел называется число, которое нацело делит каждое из этих чисел. Среди делителей имеется наибольшее число, которое называется наибольшим общим делителем - НОД(а1,а2,…,аn) или(а1,а2,…,аn)

2. Прості числа. Алгоритм знаходження простих чисел.

Число, которое не имеетникакихделителей, кроме 1 и самого себя, называетсяпростым числом.

Любое число Nможет быть представлено в виде произведения степеней простых чисел(каноническое представление числа). Такое представление единственное. Так, число 600=2³3¹5²

Для представления числа N в канонической форме можно использовать следующий алгоритм. Число N делим на наименьшее простое число 2 до тех пор, пока оно делится нацело, затем на 3, на 5 и т.д.

3. Функція Ейлера. Властивості.

Функція Эйлера ᵠ(m) определяется для всех целых чисел m как количество чисел ряда 1,2,3…,m. Так как ᵠ(1)=1(по определению), ᵠ(2)=1, ᵠ(3)=2, ᵠ(4)=2, ᵠ(5)=4 и т.д. Легко показать, что для m=p(простых чисел) ᵠ(p)=p-1. Для m=pⁿ функция Эйлера ᵠ(pⁿ)=p^n-1(p-1). Для произвольного числа m, представленного в канонической форме m=p1ⁿ¹,p2ⁿ²,…,psфункція Єйлераопределяетсяследующим образом:ᵠ(m) =m(1–1/p1)(1–1/p2)…(1–1/ps).

Например: ᵠ(11)=10; ᵠ(9)=6; ᵠ(18)=6.

4. Функція Мьобіуса. Формула зведення Мьобіуса.

Определение. ФункцияМёбиуса μ(n) определяется для всехцелыхположительных чисел иравна

μ(n)=

гдеn=p1^a1,p2^a2…pk^ak – разложение на простые сомножители, pi – простые числа, ai– кратность piв разложении. Пример. μ (1)=1, μ(2)=-1, μ(3)=-1, μ(4)=0, μ(5)=-1, μ(6)=1…

5. Порівняння. Властивості.

Пустьm — целоеположительное число, котороеназовем модулем. Будем говорить, чтоцелые числа а и bсравнимы по модулюm, если а - b = t • m для некоторогоцелого t, т.е. равны остатки отделенияa и b на m. Сравнение чисел а и b по модулю т будемзаписывать а ≡b (modm).

Например, 77 = 5(mod 8), 102 = 0(mod 3).

Свойствасравнений

1. а = a (modm) — свойстворефлексивности.

2. a s b (modm) => b = a (mod m) — свойствосимметричности.

3. а = b (modm), b = c (mod т) => а = с (mod т)— свойствотранзитивности.

4. а = b (modm) => (а, m) = (b, m).

5. а = b (modm), с = d (mod m)=>a + csb + d (mod m).

6. a = b (mod m), c = d (mod m) =>ac = bd (mod m).

7. a = a1d, b = b1d, (d, m) = 1, a = b (mod m) => a1 = b1 (mod m).

8. a = b (modm), m1\m(m1делитm) => a = b (mod m1).

9. a = b (mod m), d\a, d\b, d\m =>a1 = b1(mod m1).

6. Повна система вичетов.

Свойства 1—3 сравненийпоказывают, чтооперациясравненияцелых чисел по модулю являетсяотношениемэквивалентности.Множествовсехцелых чисел Zразбивается на классыэквивален-

тности,которыеназываютсявычетами по модулю m.Числа г, s є Z лeжaт в одномклассе {k_i}, т.е. г, s e {k_i} тогда и толькотогда, когда г = s (modm) имеютодинаковые остатки от деленияна m. Числа одного и того же классаимеют с модулем т один и тотже наибольшийобщийделитель, т.к. из г, s е {k_i } следует, что(г,m ) = (s, m) .Особенноважныклассы, для которыхэтотделительравенединице, т.е. классы, содержащие числа, взаимнопростые с модулем.

Определение. Множество классов вычетов {0}, {1},..., {m - 1} по модулю m называется полной системой вычетов (п.с.в.). Полную систему вычетов можно получить следующим образом.

Пусть Z— аддитивная (операция сложения) группа целых чисел, mZ— подгруппа всех чисел, кратных m. Тогда факторгруппа Z/mZ— аддитивная группа вычетов по модулю т (полная система вычетов).

7. Приведена система вичетов.

Определение. Пустьm — целоеположительное число. Множествоклассовизполнойсистемывычетов {0}, {1},..., [m- 1} взаимнопростых с mназываетсяприведеннойсистемойвычетов,которуюбудемобозначатькакM_zили М_z(m). Приведеннуюсистему вычетов, следовательно, можносоставитьиз чиселп.с.в., взаимнопростых с модулем. Обыкновенно_z„ выделя-

ют изсистемынаименьшихнеотрицательныхвычетов: О, 1,2,..., m-1.

8. Цепні дроби. Визначення. Теорема Дирихле.

Определение. Цепной (или, непрерывной) дробью называется выражениевида:

Теорема Дирихле: Пусть и– действительные числа; существует несократимая дробь, для которой,

(или: существует такая пара взаимно простых целых чисел a и b, что ,).

Доказательство: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей.

Пусть   подходящая дробь числа a ; выберем наибольший из знаменателей , не превышающий, то есть наибольшееk, чтобы и положим=. Рассмотрим два случая:

 не является последним знаменателем, то есть существует такое,

что . Тогда при

имеем:

2) – знаменатель последней подходящей дроби разложенияa, то есть a = . Тогда при , имеем:

.

9. Кінцеві цепні дроби. Приведений алгоритм Евкліда.

Пусть - рациональное число, причемb>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений соответствуют остаткис условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дробив виде:

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что – целое число, а, …,- натуральные числа.

10. Дати визначення та описати призначення підходящих дробів.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь.

При этом основную роль играют дроби вида:

 или

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

11. Цепна дроб дійсного числа.

Пустьa1, a2,…an – бесконечная цепная дробь с целыми неполными частями an>=1, n>=1, тогда справедливо следующее:

1. Последовательность подходящих дробей с четными номерами возрастает, а с нечетными – убывает, при этом любая подходящая дробь нечетного порядка больше любой подходящей дроби четного порядка;

2. Если цепная дробь бесконечна, то существует α-иррациональное число.

3. Справедливо равенство

Число α будем называть значением бесконечной цепной дроби. Соответствующие подходящие дроби будем также называть подходящими дробями числа α.

12. Цепні дроби ірраціональних чисел.залишки цепних дробів.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа .Пусть. Выделим изего целую часть.=3, а дробную часть–3, которая меньше представим в виде, где.Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:;;.Если остановиться на этом шаге, то можно записать:С другой стороны, из формулы длявидно, что=3+. Поэтому, вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называетсяпериодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.

13. Найкращі приближення. Визначення та використання.

Наилучшим приближеним к числу α определяетсякакнаилучшеесреди приближений с заданымограничением знамена теля.

О. Рациональнаядробьназывается наилучшим приближением к числу α, если для любой другой дроби условие, что знаменатель не больше исходной и выполняется

Всякое наилучшее приближение к α это подходящая дробь к нему. Всякая подходящая дробь это наилучшее приближение к этому числу.

Т. Если несократимая дробь удовлетворяет, то она является наилучшим приближением к числу α , и является одной из поддходящих дробей.

14. Цепні дроби та поняття еквівалентності чисел.

На множестведействительніх чисел можно ввести отношениеэквивалентности для действительніх чисел.

α И β назовемэквивалентными, еслинайдутсяцелыеa,b,c,d числа такие, чтобудетсоблюдатся:

, гдеad-bc=+-1, такое отношение обозначается α˜β=>β˜α, при этом α˜α

если α˜β, а β˜ᵠ, то α˜ᵠ.

Из этих свойств следует, что м-во всех действительных чисел распадается на классы чмсел эквивалентных между собой.

Т. Действительные числа α и β эквивалентны тогда и только тогда, когда их разложение в непрерывные дроби, начиная с некоторого места совпадают.

15. Принципи розкладання дійсного числа в неперервну цепну дроб

Теорема. Всякое действительное число может быть разложено в цепную дробь единственным образом, и всякая конечная или бесконечная цепная дробь имеет своим значением некоторое действительное число.

Пусть - действительное число, заключенное между двумя последовательными целыми числами:а<a<а+1. Число а будем называть нижним целым числаa(это просто целая часть a), а число а+1 - верхним целым. Обозначениями для нижнего и верхнего целого числа a пусть будут, соответственно

Возьмем произвольное действительное число a eR,q₁ = а – нижнее целое. Тогда a=q₁+b₁ , 0<=b₁ < 1, следовательно

Если, далее,a₁ - не целое, то снова:

Продолжая этот процесс взятия нижних целых и переворачивания дробных частей, получим запись произвольного числа a eR в виде цепной дроби. Изложенный процесс есть просто "лобовой" способ разложения произвольного числа в цепную дробь или, если угодно, наводящие соображения к доказательству основной теоремы.

16. Зв’язок цепних дробів та послідовностей багаточленів.

17. Несократимі дроби та їїх найкращі приближення.

18. Теорема про еквівалентність дійсних чисел.

На множестведействительніх чисел можно ввести отношениеэквивалентности для действительніх чисел.

α И β назовемэквивалентными, еслинайдутсяцелыеa,b,c,d числа такие, чтобудетсоблюдатся:

, гдеad-bc=+-1, такое отношение обозначается α˜β=>β˜α, при этом α˜α

если α˜β, а β˜ᵠ, то α˜ᵠ.

Из этих свойств следует, что м-во всех действительных чисел распадается на классы чмсел эквивалентных между собой.

Т. Действительные числа α и β эквивалентны тогда и только тогда, когда их разложение в непрерывные дроби, начиная с некоторого места совпадают.

19. Ірраціональні числа та несократимі дроби.

20. Зв’язок найкращих наближень та підходящих дробів.

Всякое наилучшее приближение к α это подходящая дробь к нему. Всякая подходящая дробь это наилучшее приближение к этому числу.

Т. Если несократимая дробь удовлетворяет, то она является наилучшим приближением к числу α , и является одной из поддходящих дробей.