15. Теорема 1 (Разложение в дизъюнкцию) Любую функцию f(x1,...,xm) для любого n (1  n  m) можно представить в виде

f(x1,...,x_m) =  x1^¬₁  x_n^¬_n  f(₁...,_n,x_n+1,...,x_m)

Доказательство Покажем, что для любого набора значений переменных (x1,...,x_n,x_n+1,...,x_m) значения левой и правой частей совпадают. Возьмём фиксированный набор (x1,...,x_n,x_n+1,...,x_m). Рассмотрим выражение x1₁ & ... & x_n_n. Если одно из значений x_i_i равно 0, то и всё выражение равно 0. Тогда и выражение x1₁ & ... & x_n_n & f(₁,...,_n,x_n+1,...,x_m) равно 0. Единице же выражение x1₁ & ... & x_n_n равно только в том случае, если ₁ = x1, ..., _n = x_n. При этом f(₁,...,_n,x_n+1,...,x_m) = f(x1,...,x_n,x_n+1,...,x_m) Таким образом, значение правой части всегда равно равноf(x1,...,x_m), то есть значению левой части.

Теорема 2 (Разложение в конъюнкцию). Любую функцию f(x1,...,x_m) для любого n (1  n  m) можно представить в виде

f(x1,...,x_m) =  x1^¬₁  x_n^¬_n  f(₁...,_n,x_n+1,...,x_m)

Разложения по всем переменным дают суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Следствие 1 (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме:^*

f(x1,...,xm) =  x11 & ... & xmm & f(1,...,m) =  *

=  x11 & ... & xmm

Следствие 2 (Совершенная конъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме:^*

f(x1,...,x_m) =  x1^¬₁  x_m^¬_m

Таким образом, любая булева функция может быть представлена суперпозицией конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Разложение по всем переменным в дизъюнкцию называетсясовершенной дизъюнктивной нормальной формой функции, а в конъюнкцию – совершенной конъюнктивной нормальной формой

16. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция любого числа булевых переменных с отрицание или без него, в которой каждая переменная встречается не более 1 раза.

Элементарной дизъюнкцией  называется дизъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причём среди переменных могут быть одинаковые.

ДНФ- называется формула представлена в виде дизъюнкций элементарных конъюнкций.

КНФ- называется формула представлении в виде конъюнкций элементарных дизъюнкций.

Совершенной ДНФ (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет равных элементарных конъюнкций и все они содержат одни и те же переменные, причём каждую переменную только один раз (возможно с отрицанием)., никакое слагаемое не содержит переменную и ее отрицание одновременно. Совершенной КНФ (СКНФ) называется КНФ, в которой нет равных элементарных дизъюнкций и все они содержат одни и те же переменные, причём каждую переменную только один раз (возможно с отрицанием), никакое слагаемое не содержит переменную и ее отрицание одновременно.

Название	Обозначение	Не сохранимость константы 0	Не сохранимость константы 1	Не самодвойственность	Не линейность	Не монотонность
Конст. 0	0		*	*
Конст. 1	1	*		*
Отриц.	¬	*	*			*
Конъюн.	&			*	*
Дизъюн.	v			*	*
Имплик.	→	*		*	*	*
Эквивал.	∼	*		*		*
Сумма по мод. 2	⊕		*	*		*
Штрих Шеффера	|	*	*	*	*	*
Стрелка Пирса	↓	*	*	*	*	*

17. Теорема Поста о функциональной полноте. Для того чтобы система ф-й {f₁, f₂, …f_n}была функционально полной необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну функцию не сохраняющую 0, хотя бы одну не сохраняющую «1», хотя бы одну не линейную, хотя бы одну не монотонную, хотя бы одну не самодвойственную.

Булева функция линейна если она в полиноме Жегалкина не содержит конъюнкций.

Булева ф-я называется сохраняющей ноль если она на нулевой интерпретации равно нулю.

Булева ф-я называется сохраняющая единицу, если она на единичном наборе равно единицы.

Самодвойственна  булева функция, двойственная сама к себе.

Монотонна если нет отрицаний.

18.Алгеброй Жегалкина называется алгебра над множеством логических функций и переменных, сигнатура которой содержит две бинарные операции      и   , и две нульарные операции – константы 0 и 1.

            В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:

1.   x  y = y  x-коммунитативный

2.   x ( y  z )  =  x y  x z;-ассоциативный

3.   x  x = 0;                                                                                                     

4.   x   = 1; 

5.   x  0 = x.

Полиномом Жегалкина называется конечная сумма по модулю 2, попарно различных элементарных конъюнкций над множеством переменных {x_1, x₂ ... x_n} кол-во переменных входящих в элементарную конъюнкцию называют рангом.

Правила построения полинома:

-метод тождественных преобразований,

-метод неопределенных коэффициентов.

19. Существуют несколько способов минимизации булевых функций. Прежде всего,это аналитический символьный и аналитический кодовый методы,и графическая минимизация с помощью карт Карно.

Последовательность получения минимальных форм:

1. Функция должна быть представлена в совершенной нормальной форме (СКНФ или СДНФ)

2. Находят сокращенную ДНФ(КНФ)- она единственна для любой функции

3. Находят возможные тупиковые ДНФ (КНФ)

4. Из тупиковых выбирают минимальные ДНФ(КНФ)

Тупиковая ДНФ(КНФ)-ДНФ(КНФ)-состоящая из простых эмпликант (имплицент).

Карты Карно - это графическое представление операций попарного неполного склеивания и элементарного поглощения.

Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции.

Карты Карно - определенная плоская развертка n-мерного булева куба.

Строится таблица истинности функции определенным образом. Каждая клетка таблицы соответствует вполне определенной вершине булева куба. Нулевые значения не записываются.

Минимизация логической функции =нахождение наиболее компактного её представления в виде нормальной формы минимальной сложности – минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ) или минимальной конъюнктивной нормальной формы (МКНФ).

• Минимальной сложности ДНФ = МДНФ.

• Минимальной сложности КНФ = МКНФ.

Минимальная нормальная форма логической функции – это такая нормальная форма, которая содержит наименьшее число компонентов вида Xi или  Xi .Логическая функция может иметь несколько различных минимальных нормальных форм МДНФ или МКНФ.

Минимизация логических функций путем преобразований

Алгоритм:

1. шаг: найти ДНФ или КНФ

2. шаг: выполнить все возможные поглощения и склеивания

10. Законы склеивания:

a) (A & B) ∨ (A &  B) ≡ A

b) (A ∨ B) & (A ∨ B) ≡ A

11. Законы поглощения:

a) A & (A ∨ B) ≡ A

b) A ∨ (A & B) ≡ A

Карта Карно – топологическое представление таблицы истинности логической функции на плоскости или в пространстве. Карта Карно логической функции 2-х переменных – это таблица размера 2 x 2:Каждой строке таблицы истинности логической функции соответствует одна клетка карты Карно.

20. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т.н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.

Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. 

 Пусть X и Y – некоторые высказывания. Тогда высказывания:

1) «X и Y» называется конъюнкцией высказываний X и Y;

2) «X или Y» называется дизъюнкцией высказываний X и Y;

3) «не X» называется отрицанием высказывания X;

4) «если X, то Y» называется импликацией высказываний X и Y;

5) «X тогда и только тогда, когда Y» называется эквиваленцией высказываний X и Y.

Высказывание Б из вышеприведенного примера является отрицанием высказывание А, а высказывание В – импликацией высказываний А и Е. Введем следующие обозначения для операции: & – конъюнкция, Ú – дизъюнкция, Ø – отрицание, ® – импликация, « – эквиваленция. Так, Б=ØА, В=А®Е. Символы &, Ú, Ø, ®, « называются связками.

Формулами логики высказываний называются

1)     атомарные формулы;

2)     выражения вида (F)&(G), (F)(G), (F), (F)(G), (F)(G), где F и G –

формулы логики высказываний.

Формула логики высказываний определяется рекурсивно следующим образом:

1. Атом есть формула

2. Если А формула, то А=¬А тоже формула

3. Если А и В формулы, то АВ, АВ, А->В, А<->В тоже формулы

4. Не каких других формул не существует

Формула называется тождественно истинной если она принимает значение истина на всех интерпретациях.

Формула называется тождественно ложной если она принимает значение ложь на всех интерпретациях.

Формула называется общезначимой если на одних интерпретациях она принимает значение истины, а на других ложь.