Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка

Теорема 2. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из

n без возвращения и с учетом порядка определяется формулой

и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Доказательство. Первый шарик можно выбрать n способами. При

каждом из этих способов второй шарик можно выбрать n-1 способом, и т.д.

Последний k-й шарик можно выбрать (n-k+1) способом. По теореме

1, Общее число способов выбора равно

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Число возможных перестановок множества из n элементов есть n!

Доказательство очевидно, если заметить, что перестановка есть не что

иное, как результат выбора без возвращения и с учетом порядка всех n

элементов из n. Так что общее число перестановок равно

Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка

Теорема 3. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из

n без возвращения и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

Доказательство. Заметим, что, согласно следствию 1, из

каждой выборки данного состава (состоящей из k элементов) можно

образовать k! выборок, отличающихся друг от друга только порядком

элементов.

То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше,

чем число выборок, различающихся только составом. Поделив

на k!, получим утверждение теоремы.

Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядк

Теорема 4. Общее количество выборок в схеме выбора k

элементов из n с возвращением и с учетом порядка определяется формулой

Доказательство. Первый шарик можно выбрать n способами.

При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать также n

способами, и так k раз.

Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка

14. Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями  (аналог конъюнкции),  (аналог дизъюнкции), унарной операцией  (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

Переменные, которые могут принимать значения только из множества В {0,1}, называются булевыми переменными (логическими). «1»-единичный элемент, «0»- нулевой элемент, а сами значения «1», «0»- булевы константы.

Отношение между булевыми переменными представляют булеву функцию. Ф-я вида y=f(x_1, x₂ . x_n) аргументы x_і и значение у которой принадлежит множеству В, называется n-местной булевой функцией. Такие же ф-и тоже называются логическими функциями.

Кортеж (x_1, x₂ …. x_n) конкретных значений булевых переменных называется двоичным словом(n-словом) или булевым набором длины n. Для булевой функции y=f(x_1, x₂ . x_n) конкретное(индивидуальное) значение булевого набора (x_1, x₂ . x_n) называется также интерпретацией булевой функции. Множество всех двоичных слов обозначаемое через Вⁿ, называется n-мерным булевым кубом и содержит 2ⁿ элементов слов.

Способы задания булевых ф-й:

-вербальный (словесно),

-табличный (при помощи таблицы истинности)

-порядковым номером, который имеет функция

-аналитическим в виде формулы.

Булева функция одной переменной

Ф0-функция константы 0,

х	Ф0	Ф1	Ф2	Ф3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Ф1-функция повторения аргумента,

Ф2- функция отрицания аргумента,

Ф3-функция константа 1

Булевы  функции двух переменных

Таблица функций двух переменных

 

Представленные 16 функций называются элементарными. Функции   и  являются константами соответственно 0 и 1.

 - есть конъюнкция (логическое умножение)

сложение по модулю 2 

 дизъюнкция

 функция Вебба (или-не) 

 эквивалентность (равнозначность)

 функция Шеффери (и-не)