4.2 Зображення точок та ліній на комплексному кресленику

4.2.1 Питання до розгляду

Зображення точок на двокартинному комплексному кресленику. Перший та другий закони комплексного кресленика. Зображення точок на трикартинному комплексному кресленику. Третій закон комплексного кресленика. Проекціювання точки на додаткові площини проекцій. Спосіб заміни площин проекцій.

Види ліній. Прямі і криві лінії. Криві другого порядку, гвинтові лінії. Класифікація прямих відносно площин проекцій. Прямі загального положення. Прямі рівня. Проекціювальні прямі. Проекціювання прямих на додаткові площини проекцій. Метод прямокутного трикутника.

4.2.2 Рекомендації з вивчення

Необхідно засвоїти такі терміни та поняття: комплексний кресленик, горизонтальна площина проекцій, фронтальна площина проекцій, профільна площина проекцій, горизонтальна проекція точки, фронтальна проекція точки, профільна проекція точки, додаткові площини проекцій. Треба знати три закона комплексного кресленика. Треба розуміти, як утворюються осі проекцій X, Y, Z та механізм побудови комплексного кресленика. Знати два принципи побудови проекції точки на додаткову площину проекцій. Вміти проектувати точки дві та три взаємно перпендикулярні площини проекцій.

Нижче описані механізм утворення і три закони комплексного кресленика. Наочне зображення точки в системі П1 іП2для креслення складно і незручно (рис.4.2а). Перетворимо його так, щоб горизонтальна площинаП1збіглася з фронтальною площиноюП2, утворюючи одну площину кресленика. Це перетворення виконуємо, повертаючиП1навколо осіx₁₂на кут90вниз (рис.4.2а).При цьому відрізкиА2АxтаА1Аx утворюють один відрізокА2А1, який перпендикулярний осі x₁₂, тобто, А2А1x₁₂. Цепершийзакон комплексного кресленика.Відрізок, який сполучає проекціюА2 з проекцієюА1, називаєтьсявертикальною лінією зв'язку. В результаті поєднання площинП1іП2виходить комплексний кресленик точкиА (рис.4.2б), відомийще під назвою епюр точки (від франц. “epure” – креслення, проект) або епюр Монжа.

Наочне зображення довільної точки Ав системі площинП2іП3показано на рис.4.3а. Перетворимо системуП2,П3так, щоб профільна площинаП3 збіглася з фронтальною площиноюП2, утворюючи одну площину кресленика. Це перетворення здійснюємо, повертаючиП3навколо осіZ23на кут90управо

(рис. 4.3а). При цьому відрізки А2Аz іАzА3утворюють один відрізокА2А3, який перпендикулярний осіZ23, тобтоА2А3Z23. Цедругийзакон комплексного креслення. Відрізок, який з’єднує проекціюА2з проекцієюА3, називаєтьсягоризонтальною лінією зв'язку (рис. 4.3б).

а) б)

Рисунок 4.2 – Наочне зображення і двокартинний КК точкиАу системіП1 , П2

а) б)

Рисунок 4.3 – Наочне зображення і двокартинний КК точки Ау системіП2,П3

а) б)

Рисунок 4.4 – Наочне зображення і трикартинний КК точки А

Далі розглянемо систему трьох площин проекцій П1,П2 іП3. Схема поєднання трьох взаємно перпендикулярних площин проекцій в одну площину кресленика показана на рис. 4.4а. При цьому вісьY13 після поєднання займає два положення:Y1іY3. На рис. 4.4а пояснюється також схема перетворення наочного зображення точкиАв трьохкартинний комплексний кресленик точкиА, XA, YA і ZA – координати точкиА.

На рисунку 4.4б зображено трьохкартинний комплексний кресленик точки А (епюр точкиА). На рисунку 4.4 також видно, щоАxА1=АyO=А3Аz=YA,тобто,I А1X12 I=I А3Z23 I. Цетретійзакон комплексного кресленика.

Необхідно засвоїти такі терміни та поняття: пряма загального положення, пряма окремого положення, пряма рівня, проекціювальна пряма, конкуруючі точки. Треба знати, як будуються КК прямих, графічні ознаки прямих загального положення, прямих рівня, проекціювальних прямих. Треба розуміти, як за допомогою конкуруючих точок можна визначити видність геометричних об’єктів. Вміти за допомогою метода прямокутного трикутника перетворювати прямі загального положення в прямі окремого положення.

Пряма лінія безмежна. Тому використовується поняття не прямої лінії, а її різних частин (промінь, відрізок). Через дві точки можна провести лише одну пряму лінію – це означає, що дві точки визначають пряму. Тому для завдання прямої в просторі досить задати дві будь-які точки, які належать прямій, а на комплексному кресленні – проекції двох точок, які належать проекції прямої.

Принцип належності: якщо точка належить прямій, то і проекції цієї точки належать однойменним проекціям цієї прямої.

Далі на прикладі пояснюється суть методу заміни площин проекцій.

Приклад 1. Дано дві паралельні прямі АВ і CD. Визначити найкоротшу відстань між ними (рис. 4.5).

Розв'язання цієї задачі виконуємо в такій послідовності:

а) Визначаємо натуральні величини відрізків заданих прямих, для чого вводимо додаткову площину П₄ // АВ // СD, П₄ ⊥ П₁. На комплексному кресленику Х₁ // A₁B₁ // C₁D₁;

б) Задані прямі перетворимо в проекціювальне положення (П₅ ⊥ AВ, П₅ ⊥ CD та П₅ ⊥ П₄). На комплексному кресленику Х₂ ⊥ А₄В₄ і Х₂ ⊥ C₄D₄.

в) Відрізок MN (M₅N₅) задає шукана відстань.

г) Використовуючи проекціювальний зв'язок, знаходимо положення проекцій відрізка MN на П₁ і П₂.

Рисунок 4.5 – Комплексний кресленик до прикладу 1

4.2.3 Література

[1, с. 12-16, 52-60; 2, с. 12-26, 48-50, 68-76; 3, с. 25-36]

4.2.4 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Що називається ортогональною проекцією точки?

2. Що називається комплексним креслеником?

3. Скільки координат визначає положення тіла в просторі?

4. Як називаються і позначаються основні площини проекцій?

5. Скільки проекцій точки необхідно для однозначного завдання точки у просторі?

6. Як називається і позначається площина проекцій, яка розташовується горизонтально відносно спостерігача?

7. Як називається і позначається площина проекцій, яка розташовується фронтально відносно спостерігача , перпендикулярно площині П1?

8. Як називається і позначається площина проекцій, яка розташовується праворуч відносно спостерігача , перпендикулярно площині П2?

9. Як називаються і позначаються лінії перетину площини проекцій?

10. На скільки частин поділяється простір площинами П1 і П2 і як називаються ці частини?

11. Як називається відрізок, який з'єднує проекції А1 і А2 точки А?

12. Як розташовані горизональна і фронтальна проекції будь-якої точки на

КК?

11. Як називається відрізок, який з'єднує проекції А2 і А3 точки А?

12. Напишіть перший закон комплексного кресленика.

13. Напишіть другий закон комплексного кресленика.

16. На скільки частин поділяється простір площинами П1,П2та П3і як називаються ці частини?

17. Поясніть третій закон комплексного кресленика.

18. Покажіть способи побудови профільної проекції точки.

19. Як можна побудувати КК точки за її координатами?

20. Побудуйте трикартинний КК точок A, B, C, D за даними координатами в миліметрах – A(10,20,30), B(20,0,40), C(30,15,0), D(0,10,20).

21. Як побудувати фронтальну проекцію точки за даними горизонтальною і профильною проекціями точки?

22. Як побудувати горизонтальну проекцію точки, якщо на кресленику відомі фронтальна і профильна проекції?

23. У чому полягає суть перетворення кресленика способом заміни площин проекцій?

24. На якій відстані від нової осі проекцій знаходиться нова проекція точки при заміні площин проекцій?

25. Побудувати комплексний кресленик точок А(40,20,30), В(40,30,0), С(0,0,30) і D(0,10,20) .

26. Точки А, В і С належать площинам проекцій (рис. 4.6). Побудувати відсутні проекції цих точок і вказати, в якій площині кожна з них розташовується.

Рисунок 4.6 – Графічні умови до питання 26 розділу 4.2

27. У чому різниця між плоскою і просторовою лініями?

28. Як зображається окружність на КК, якщо вона розташовага в площині загального положення?

29. Чим визначається проекція прямої лінії? Скільки прямих можна провести через дві точки?

30. Яке положення може займати пряма відносно площин проекцій?

31. Яка пряма називається прямою загального положення? Які властивості вона має? Яка графічна ознака прямої загального положення на КК?

32. Які пряміназивають прямимиокремого положення? Які види прямихокремого положення ви знаєте?

33. Назвіть три родини проекціювальних прямих.У що проекцюється проекціювальна пряма на площини проекцій? Які властивості мають проекціювальні прямі? Яка графічна ознака проекціювальної прямої на КК?

34. Назвіть три родини прямих рівня. Які властивості мають прямі рівня? Яка графічна ознака прямої рівня на КК?

35. Назвіть варіанти взаємного розташування двох прямих у просторі.

36. Які точки називаються конкуруючими? Як визначити видність елементів простору відносно даної площини проекцій за допомогою конкуруючих точок?

37. Дано точки А(90,30,40), В(10,20,15), С(60,20,40) і D(30,40,15).Побудувати КК відрізків АВ і СD, позначити і записати координати конкуруючих точок.