4.5 Перетин просторових форм
4.5.1 Питання до розгляду
Основні позиційні задачі. Характер лінії перетину. Загальний алгоритм побудови лінії перетину. Перетин геометричних фігур, які займають проекціювальне положення. Перетин прямої лінії з проекціювальними поверхнями. Перетин поверхонь площинами. Взаємний перетин поверхонь.
Перетин геометричних фігур, одна з яких займає проекціювальне положення. Перетин непроекціювальних поверхонь проекціювальною площиною. Види конічних перерізів. Побудова КК геометричних тіл з непроекціювальною поверхнею і проекціювальним отвором. Взаємний перетин двох непроекціювальних поверхонь. Метод допоміжних січних площин. Метод допоміжних сфер.
4.5.2 Рекомендації з вивчення
Необхідно засвоїти такі терміни та поняття: позиційна задача, лінія перетину (загальний елемент), характерні точки лінії перетину. До проекціювальних відносяться такі геометричні поверхні – циліндрична та призматична. Необхідно розуміти, що при перетині двох проекціювальних фігур дві проекції лінії перетину на кресленику відомі – вони збігаються з відповідними виродженними проекціями проекціювальних фігур. Третю проекція лінії перетину шукають за правилами побудови проекцій точок.
Приклад 7. Приклад побудови лінії перетину проекціювальної поверхні п'ятикутної призми з фронтально проекціювальною площиною Ф (Ф2) наведено на рис 4.15.
Розв'язання. Лінія перетину п'ятикутної призми площиною Ф є плоский п'ятикутник 1 2 3 4 5. Для побудови проекцій лінії перетину знаходять проекції точок перетину площини Ф з ребрами призми і з’днують їх прямими лініями. Фронтальні проекції цих точок виходять при перетині фронтальних проекцій ребер призми з площиною Ф'' (1''2'' 3'' 4'' 5''). Горизонтальні проекції точок перетину 1'2'3'4' 5' співпадають з горизонтальними проекціями ребер. Маючи дві проекції цих точок, по принципу належності знаходять профільні проекції 1''', 2''', 3''', 4''', 5'''. Отримані профільні проекції точок з’єднують прямими лініями і отримують профільну проекцію лінії перетину 1''' 2''' 3''' 4''' 5'''.
Рисунок 4.15 – Комплексний кресленик до прикладу 7
При перетині циліндричної поверхні проекціювальними площинами можуть бути отримані дві твірні прямі (січна площина паралельна осі циліндра), окружність (січна площина перпендикулярна осі циліндра) або еліпс (січна площина перетинає всі твірні циліндра).
Необхідно засвоїти такі терміни та поняття: непроекціювальна геометрична фігура, конічний переріз, лінія зрізу, лінія переходу.
Треба знати можливі види конічних перерізів, вміти будувати лінії перетину конічної поверхні площиною, лінії перетину непроекціювальних поверхонь обертання проекціювальною площиною, будувати похилі перерізи.
Слід розуміти, що перетин поверхні площиною є плоскою фігурою, обмеженою замкненою лінією, всі точки якої належать як січній площині, так і поверхні. При перетині площиною поверхні обертання (циліндра, конуса і ін.) фігура перетину часто обмежена плоскою кривою лінією. Точки цієї кривої знаходять за допомогою допоміжних ліній – прямих або кіл, узятих на поверхні. Точки перетину цих ліній з січною площиною будуть шуканими точками контура криволінійного перетину.
Розв’язання задачі по побудові перетину поверхні обертання площиною значно спрощується, якщо січна площина займає проекціювальне положення. В цьому випадку одна з проекцій перетину – відрізок прямої і належить сліду площини. Побудова іншої проекції перетину зводиться до багатократного розв’язання раніше розглянутої задачі по знаходженню іншої проекції точки, що розташована на поверхні, якщо відома хоча би одна її проекція.
Нижче розглядаються задачі, пов'язані з побудовою ліній перетину сферичної, циліндричної і конічної поверхонь обертання, а також перетинів тіл, що є різними комбінаціями з відсіків перелічених поверхонь, проектціювальними площинами.
Сферична поверхня, як відомо, будь-якою площиною перетинається по окружності.
Поверхня прямого кругового конуса у своєму роді унікальна, вона служить носієм цілого ансамблю кривих (окружності, еліпса, параболи і гіперболи), а також двох пересічних прямих (рис. 4. 16).
Рисунок 4. 16 – Конічні перерізи (а - ψ > φ; б – ψ = φ; в – ψ < φ)
Приклад 8. Дан тор і площина Σ ⊥ П2. Побудувати лінію перетину тора площиною Σ (рис. 4.17).
Розв'язання. Оскільки шукана лінія перетину належить площині Σ, а площина займає фронтально проекціювальне положення, то фронтальна проекція лінії перетину знаходитиметься на сліді цієї площини. Горизонтальну проекцію лінії перетину визначаємо з умови належності лінії поверхні. Тоді послідовність побудов буде такою:
а) визначаємо опорні точки лінії перетину – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (точки 7 і 8 видалені на найкоротшу відстань від осі тора, а решта точок належить обрисам поверхні);
б) визначаємо проміжні точки – 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (для їх побудови на торі проведені паралелі);
в) отримані точки з'єднуємо з урахуванням видимості.
Рисунок 4.17 – Комплексний кресленик до прикладу 8
4.5.3 Література
[1, с. 85-99; 2, с. 60-65, 89-127, 163-172; 3, с. 53-66]
4.5.4 Запитання та завдання для самоперевірки
Чому лінію перетину називають загальним елементом?
Які задачі називаються позиційними?
Як на КК побудувати проекції точки, що належить площині, поверхні?
Як на КК побудувати лінію, що належить площині, поверхні?
Яка послідовність розв’язання на КК задач на перетин?
Як відносно одна одній можуть бути розташовані пряма і площина?
7. Яка пряма є лінієй перетину площини загального положення з горизонтальною площиною рівня? З горизонтально проекціювальною площиною?
8. По якій лінії перетинаються дві фронтально проекціювальні площини?
9. Як будується лінія перетину поверхні площиною?
10. Які лінії можуть бути одержані при перерізі прямого кругового циліндра?
11. Як будують лінію перетину двох поверхонь, одна з яких проекціювальна?
12. Яку лінію на поверхні обертання називають лінією срізу?
13. У чому полягає суть спрощення при побудові лінії взаємного перетину двох поверхонь, якщо одна з поверхонь проекціювальна?
14. Які лінії одержуються при перетині сфери площиною, яка перпендикулярна осі обертання сфери?
15. Які геометричні фігури назиіваються проекціювальними?
16. Які геометричні тіла могуть займати проекціювальне положення?
17. Які лінії можна одержати при перетині циліндричної поверхні проекціювальними площинами?
18. У чому суть алгоритму побудови перетину поверхні площиною?
19. Які лінії одержуються в перетині площиною циліндричної поверхні обертання?
20. Які лінії одержуються в перетині площиною конічної поверхні обертання?
21. Які точки лінії перетину відносяться до опорних?
22. Які лінії називають конічними перерізами?
23. Які лінії можуть бути одержані в перерізі прямого кругового конуса? Сфери?
24. Які допоміжні поверхні зручно використовувати при побудові точок лінії перетину двох поверхонь?
25. У чому суть способа допоміжних січних площин у побудові лінії перетину двох поверхонь?
26. Які поверхні називають соосними? По яких лініях перетинаються соосні поверхні обертання?
27. Як можна використовувати допоміжні сфери при побудові лінії перетину двох поверхонь?
28. По яких лініях перетинаються два прямих кругових циліндра одного діаметра, якщо їх осі перетинаються?
29. Яку лінію називають лінією переходу, і як вона накреслюється при зображенні поверхонь, які перетинаються?
30. В яких випадках при перетині кривих поверхонь доцільно використовувати допоміжне проеціювання, а в яких - спосіб допоміжних перерізів?
31. У чому суть алгоритму побудови лінії перетину двох поверхонь методом січних площин?
32. Яким умовам повинні задовольняти площини-посередники?
33. Які точки лінії перетину є опорними?
34. Як встановлюється видність проекцій лінії перетину поверхонь?
35. По яких лініях перетинаються дві співісні поверхні обертання?
36. За яких умов сфера перетинається з поверхнею обертання по окружності?
37. За яких умов сфера перетинається з циклічною поверхнею по окружності?
38. Як визначаються найбільший і найменший радіуси концентричних сфер посередників?