Векторное представление синусоидальных функций

Для упрощения анализа и расчета цепей синусоидального тока целесообразно использовать векторы. В электротехнике векторами изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, напряжения и токи, но в отличие от векторов, которыми изображались силы и скорости в механике, эти векторы вращаются с постоянной угловой частотой и не показывают направление действия.

Представление синусоидальных функций при помощи векторов позволяет наглядно показать амплитудные и фазовые соотношения в цепях синусоидального тока.

В прямоугольной системе координат x0yотложим вектор(векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются буквами с точкой вверху). Длина вектора должна быть равна амплитуде тока, а угол наклона к оси абсциссначальной фазе тока_i. Его проекция на ось ординатI_msin_iравна мгновенному значению тока в момент времениt= 0, т. е.i(0) =I_msin_i. Будем вращать векторс постоянной угловой скоростьювокруг начала координат против направления движения часовой стрелки. За времяtвекторповернется на уголtотносительно начального положения, так что угол наклона к оси абсцисс станет равным (t + _i). Проекция вращающегося вектора на ось ординатi=I_msin(t+_i) и представляет собой мгновенное значение токасинусоидальную функцию времени.

В электротехнике векторы изображают не вращающимися, а неподвижными для момента времени t= 0 (рис. 2,а), при этом длины векторов в выбранном масштабе представляют собой действующие значения соответствующих величин. Углы наклона к оси абсцисс равны начальным фазам (_i,_u,_е). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной функции: действующее значение и начальную фазу. Третий параметругловая частотадолжен быть известен. Если_u_i(как на рис. 2,а), то угол сдвига фаз0 и напряжение опережает по фазе ток. Уголвсегда откладывается от векторак вектору напряжения.

Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображенных в общей системе координат, называют векторной диаграммой. Векторная диаграмма дает наглядное представление об амплитудах (действующих значениях), начальных фазах и углах сдвига фаз электрических величин. При вращении векторов с одинаковой угловой скоростьюих взаимное положение не меняется. При построении векторных диаграмм обычно один из исходных векторов располагают на плоскости произвольно, остальные же векторы—под соответствующими углами к исходному.

Применение векторных диаграмм позволяет сложение и вычитание мгновенных значений величин заменить сложением и вычитанием их векторов, что проще и нагляднее.

Комплексное представление синусоидальных функций.

От векторного изображения синусоидальных функций можно перейти к их выражению комплексными числами.

На комплексной плоскости (рис. 2, б) с осями координат + 1ось действительных чисел и величин и + jось мнимых чисел и величин (в электротехнике в отличие от математики мнимую единицуобозначают j, так как букваiпринята для обозначения мгновенного значения тока) отложим вектордлинойIпод углом_iк положительному направлению действительной оси.

Его проекцию на ось действительных чисел обозначим , на ось мнимых чисел –. Любая точка на комплексной плоскости или вектор, проведенный из начала координат в эту точку, изображается комплексным числом=a+ jb, гдеакоордината точки по оси действительных чисел;bпо оси мнимых чисел. Поэтому вектор токаможет быть записан в виде=+ j. Такая запись комплексных чисел или величин называетсяалгебраической формой.

а)б)

Рис. 2

Из рис. 2, бследует, что=Icos_iи=Isin_i. Поэтому векторможно записать и в так называемойтригонометрической форме:

= Icos_i + jIsin_i.

Принимая во внимание формулу Эйлера = cos_i+ jsin_i, тот же вектор запишем впоказательной (экспоненциальной) форме:=I , где модуль вектораIи начальная фаза_iпредставляют собой полярные координаты вектора.

Выражение вида e ^jназывают оператором поворота, так как умножение наe ^jкакого-либо вектораравносильно повороту этого вектора на комплексной плоскости на угол. Угол_iпоказывает поворот вектораотносительно оси действительных величин (см. рис. 2,б).

Таким образом, вектор может быть выражен тремя различными комплексными формами записи:

= + j=Icos_i + jIsin_i = I e^ji.

Переход от алгебраической формы записи к показательной и тригонометрической выполняется по формулам, которые следуют из рис. 2, б:

;

_i = arctg,  при 0;

_i = arctg+ 180⁰ , при  0.

Таким образом, комплексное число отображает вектор и, так же как вектор, определяет два параметра синусоидальной функции: действующее значение (амплитуду) и начальную фазу; третий параметр синусоидальной функции должен быть известен.

Величины называюткомплексными амплитудамисоответственно тока, напряжения, ЭДС, а комплексными действующими значениямитока, напряжения, ЭДС или, короче, комплексным током, комплексным напряжением, комплексной ЭДС.

Применение комплексных чисел позволяет от геометрического сложения или вычитания векторов на векторной диаграмме перейти к алгебраическому действию над комплексными числами этих векторов.

В общем случае электрическая цепь переменного тока может содержать резистивные, индуктивные и емкостные элементы, параметрами которых соответственно являются сопротивление R, индуктивностьL, емкостьС.