1.5.4. Вычисление факториала

Программируя формулы из комбинаторной математики, часто приходится использовать рекурсию. В качестве примера применения рекурсии в комбинаторике приведём, рассмотренную ранее, программу вычисления факториала (Листинг 3). Программа вводит с клавиатуры целое число N и выводит на экран значение N!, которое вычисляется с помощью рекурсивной функции FAC. Для выхода из программы необходимо либо ввести достаточно большое целое число, чтобы вызвать переполнение при умножении чисел с плавающей запятой, либо нажать Ctrl-Z и Enter.

При выполнении правильно организованной рекурсивной подпрограммы осуществляется многократный переход от некоторого текущего уровня организации алгоритма к нижнему уровню последовательно до тех пор, пока, наконец, не будет получено тривиальное решение поставленной задачи. В приведённой ниже программе решение при N=0 тривиально и используется для остановки рекурсии.

Листинг 3. Программа вычисления факториала.

Program Factorial;

{$S+} {Включаем контроль переполнения стека}

var n: Integer;

function Fac (n: Integer): Real;

{Рекурсивная функция, вычисляющая n!}

begin

  if n<0 then

    writeln (‘Ошибка в задании N’)

  else

    if n=0 then

      Fac:=1

    else Fac:=n*Fac(n-1)

end {Fac};

{----------}

begin {main}

  repeat

    ReadLn(n);

    WriteLn(‘n! = ’,Fac(n))

  until EOF

end {main}.

Рекурсивная форма организации алгоритма обычно выглядит изящнее итерационной и даёт более компактный текст программы, но при выполнении, как правило, медленнее и может вызвать переполнение стека (при каждом входе в программу её локальные переменные размещаются в особым образом организованной области памяти, называемой программным стеком). Переполнение стека особенно ощутимо сказывается при работе с сопроцессором: если программа использует арифметический сопроцессор, результат любой вещественной функции возвращается через аппаратный стек сопроцессора, рассчитанный всего на 8 уровней. Если, например, попытаться заменить тип REAL функции FAC (см. листинг 3) на EXTENDED, программа перестанет работать уже при N=8. Чтобы избежать переполнения стека сопроцессора, следует размещать промежуточные результаты во вспомогательной переменной. Вот правильный вариант для работы с типом EXTENDED:

Program Factorial;

{$S+,N+,E+} {Включаем контроль стека и работу сопроцессора}

var n: Integer;

function Fac (n: Integer): extended;

var F: extended;            {Буферная переменная

                             для разгрузки стека сопроцессора}

{Рекурсивная функция, вычисляющая n!}

begin {Fac}

  if n<0 then

    writeln (‘Ошибка в задании N’)

  else

    if n=0 then

      Fac:=1

    else

      begin

        F:=Fac(n-1);

        Fac:=F*n

      end;

end {Fac};

{----------}

begin {main}

  repeat

    ReadLn(n);

    WriteLn(‘n! = ’,Fac(n))

  until EOF

end {main}.

Архитектура стека непосредственно поддерживает рекурсию, поскольку каждый вызов процедуры автоматически размещает новую копию локальных переменных. Например, при каждом рекурсивном вызове функции факториала требуется одно слово памяти для параметра и одно слово памяти для адреса возврата. То, что издержки на рекурсию больше, чем на итерацию, связано с дополнительными командами, затраченными на вход в процедуру и выход из неё. Некоторые компиляторы пытаются выполнить оптимизацию, называемую оптимизацией хвостовой рекурсии (tail-recursion) или оптимизацией последнего вызова (last-call). Если единственный рекурсивный вызов в процедуре – последний оператор процедуры, то можно автоматически перевести рекурсию в итерацию.