10. Вычисление и построение главного вектора и главного момента

Выбираем систему координатных осей Oxyz (рис. 48) и вычисляем проекции главного вектора как алгебраические суммы проекций всех заданных сил на выбранные оси:

Рис. 48.

По найденным проекциям, откладывая соответствующие отрезки вдоль координатных осей (с учетом знака проекции), строим прямоугольный параллелепипед. Направленная диагональ, проведенная из начала координат в противоположную вершину параллелепипеда, определяет главный вектор R (см. также рис. 26).

Модуль и направляющие косинусы главного вектора определяются следующими вытекающими из построения формулами:

Совершенно аналогично определяются проекции, модуль и направляющие косинусы главного момента:

К формулам для вычисления проекций главного момента необходимо привести следующие пояснения.

Главный момент, по определению, есть векторная сумма моментов всех сил центра О. Следовательно, его проекции на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций на эти оси векторов-моментов сил относительно центра О, то есть величин

Но эти величины, по определению момента силы относительно оси, являются моментами сил относительно соответствующих координатных осей:

Отсюда непосредственно следуют написанные выше выражения для величин .

Косинус угла между главным вектором и главным моментом определяется так:

Формула получается следующим образом. По определению скалярного произведения векторов R и имеем:

С другой стороны, эта же величина может быть вычислена через проекции векторов-сомножителей:

Приравнивая правые части и разрешая полученное уравнение относительно coscp, приходим к написанной формуле.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Случай параллельных сил.

Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия: R = 0, M₀ = 0.

Здесь О - любая точка плоскости.

Найдем вытекающие из равенств аналитические условия равновесия.

Величины R и М_о определяются равенствами:

Равенства выражают, следующие аналитические условия рав­новесия: для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каж­дую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных  в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой,  были равны нулю.

Равновесие плоской системы параллельных сил.

В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а ось Оу параллельно им (рис. 29). Тогда проекция каждой из сил на Oxбудет равна нулю и первое из 3-х  равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия: 

Где ось Оу параллельна силам.

11. Равновесие тела при наличии трения скольжения

Если два тела I и II (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R_A, действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно раз­ложить на две составляющие: N_A, направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А, и Т_А, лежащую в касательной плоскости. Составляющая N_Aназывается нормальной реакцией, сила Т_А называется силой трения скольжения — она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксио­мой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I дей­ствует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной пло­скости, называется силой нормального давления. Сила трения Т_А = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя. Максимальная   сила   трения   приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. T_max=fN. (6.3)– закон Амонтона—Кулона. Коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Его значение  не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверх­ностей. Силу трения можно вычислить по ф-ле T=fN только если имеет место критический случай. В других случаях силу трения следует определять из ур-ий равнов. На рисунке показана реакция R (здесь активные силы стремятся сдвинуть тело вправо). Угол j между предельной реакцией  R и нормалью к поверхности называется  углом   трения. tgj=T_max/N=f.

 

Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции R образует коническую поверхность — конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент тре­ния f во всех направлениях одинаков, то конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения f зависит от направления возможного движения тела, конус трения  не будет  круговым. Если равнодействующая активных сил. нахо­дится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела; для того чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил F находилась вне конуса трения. Рассмотрим трение гибких тел (рис.6.8). Формула Эйлера помогает найти наименьшую силу P, способную уравновесить силу Q. P=Qe^-fj*. Можно так же найти такую силу P, способную преодолеть сопротивление трения вместе с силой Q. В этом случае в формуле Эйлера поменяется только знак f: P=Qe^fj*.

Равновесие при наличии трения скольжения

При скольжении тела по шероховатой поверхности возникает сила реакции, которая имеет две составляющие – нормальную и силу трения скольжения (рисунок 2.1). Сила трения скольжения, приложенная к одному из трущихся тел, направлена противоположно его скорости относительно второго тела.

Рисунок 2.1

В результате экспериментальных исследований были установлены законы Амонтона-Кулона:

1) сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения тела под действием активных сил. Величина силы трения зависит от активных сил и заключена между нулем и своим максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия (0 ≤ F_тр ≤ F_тр^max );

2) максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материалом и состоянием контактирующих поверхностей;

F_тр^max = fN,

где  f – коэффициент трения скольжения, который является безразмерной величиной и зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, а также от скорости движения тела и удельного давления.

Экспериментально установлено, что  f < f_сц.

Рассмотрим твердое тело на шероховатой поверхности (рисунок 2.2), находящееся под действием активных сил в предельном состоянии равновесия, т.е. когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции.

В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол (R^max ). Этот наибольший угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции и направлением нормальной реакции, называется углом трения  φ:

 tgφ = F_тр^max/N = fN/N = f.

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Конус трения – поверхность, образованная линией действия максимальной реакции опорной поверхности при движении тела в различных направлениях (рисунок 2.2).

При равновесии тела на шероховатой поверхности под действием силы P  (рисунок 2.3) можно составить два уравнения равновесия:

 ΣF_{kx = 0};  Psinα - F_{тр = 0};

 ΣF_{ky = 0};  - Pcosα + N = 0.

Следовательно,

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Никакая сила, лежащая внутри конуса трения, не может вывести тело из состояния равновесия.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площадкиAB (рисунок 2.4, а), появляется распределенная система сил реакции (рисунок 2.4, б), которая может быть заменена силой и парой (рисунок 2.4, в).

Сила раскладывается на две составляющие – нормальную и силу трения скольжения. Пара сил называется моментом сопротивления качению  M_c.

Рисунок 2.4

При равновесии тела момент сопротивления качению  определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством

 M_c^max = Nδ,

где δ  – коэффициент трения качения, имеет размерность длины [м], зависит от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

Различают: 

чистое качение – точка  A (рисунок 2.4) не скользит по неподвижной плоскости;

качение со скольжением – наряду с вращением катка присутствует и проскальзывание в месте контакта, т.е. точка  A движется по плоскости;

чистое скольжение – каток движется по плоскости, не имея вращения (см. п.2.1).

Для того, чтобы каток не скользил, необходимо условие F_тр < F_тр ^max <fN; чтобы каток не катился –  M_c < M_c^max = δN.

Также существует трение верчения – когда активные силы стремятся вращать тело вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.