Линейная алгебра и аналитическая геомерия

| h | гипербола будет подобно увеличиваться до бесконечности.

действительной полуосью c |ah | и мнимой полуосью b |ah |. При увеличении

| h | гипербола будет подобно увеличиваться до бесконечности.

Таким образом, получается поверхность, имеющая вид, изображённый на рис. 31.

z

O

y

x

Рисунок 31. Конус второго порядка

Пример. Установим тип сечения однополостного гиперболоида

x2 - y2 + z2 =1 плоскостью z +1 = 0. 32 18 2

Множество точек искомого сечения однополостного гиперболоида плоскостью является решением системы уравнений вида

81

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

После подстановки z = −1 в первое уравнение системы и упрощения

каких – гиперболы.

Подставив правую часть равенства x = 1− mz в левую часть уравнения гиперболоида вместо x, а затем приводя подобные, выделяя полный

квадрат и упрощая, приведём уравнение искомого сечения к каноническому виду:

Вопросы для самоконтроля к разделу «Элементы аналитической геометрии»

1.Какое уравнение называется уравнением линии на плоскости? Как

установить принадлежность некоторой точки плоскости заданной линии?

2.Назовите способы задания и запишите соответствующие уравнения прямой на плоскости. Какие частные случаи расположения прямой

относительно прямоугольной декартовой системы координат возможны?

3.Что называется углом между прямыми на плоскости? Как вычислить угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами? Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

4.Что называется расстоянием от точки до прямой? Запишите формулу вычисления расстоянием от точки до прямой на плоскости.

5.Какая линия на плоскости называется кривой второго порядка?

Назовите классы кривых второго порядка и запишите канонические уравнения их представителей.

6.Сформулируйте определения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Назовите основные характеристики этих линий.

82

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7.Запишите общее уравнение линии на плоскости в полярных координатах. Как получить точки, образующие эту линию?

8.Какое уравнение называется уравнением поверхности? Как установить принадлежность точки пространства заданной поверхности?

9.Перечислите способы задания и запишите соответствующие уравнения плоскости. Какие частные случаи расположения плоскости

относительно прямоугольной декартовой системы координат возможны?

10.Что называется расстоянием от точки до плоскости? Запишите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.

11.Сформулируйте определение и запишите формулу для вычисления угла между плоскостями. При каких условиях плоскости будут параллельны, а при каких – перпендикулярны?

12.Как можно определить линию в пространстве? Что общего и

различного в способах определения линии на плоскости и в пространстве?

13.Назовите способы задания и запишите соответствующие уравнения прямой в пространстве. В чём состоят существенные отличия между заданием прямой на плоскости и в пространстве?

14.Что понимают под углом между прямыми в пространстве? Существуют

ли отличия между определением угла между прямыми на плоскости и в пространстве? Запишите формулу для вычисления угла между

прямыми в пространстве и сформулируйте условия их параллельности и перпендикулярности.

15.Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью и запишите формулу, позволяющую вычислить этот угол. При каких условиях прямая и плоскость будут параллельны, а при каких – перпендикулярны?

16.Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?

Назовите типы невырожденных поверхностей второго порядка и запишите канонические уравнения их представителей. В какие

непересекающиеся классы объединяются все невырожденные поверхности второго порядка?

17.Какая поверхность называется поверхностью вращения? Что называется вращением линии?

18.В чём состоит метод сечений? Какие сечения поверхности называются главными?

19.Определите классы эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров и конусов второго порядка. Назовите их главные сечения, а

также способы получения и уравнения соответствующих тел вращения.

83

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Элементы аналитической геометрии»

1.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,−1) перпендикулярно вектору n = (5, − 3).

2.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(5,6) и

образующей с осью абсцисс угол 45o.

3.Составить уравнение прямой, образующей с осью абсцисс угол 60o и отсекающей на оси ординат 7 единиц.

4.Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2,4) и B(14,8).

5.Прямая задана общим уравнением − 6x + 2y +14 = 0. Записать уравнение

этой прямой с угловым коэффициентом.

6. Прямая задана общим уравнением 2x + 4y = −16. Составить для этой прямой уравнение в отрезках.

7.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,7) параллельно вектору a = (3, − 5).

8.Найти тангенс угла между прямыми 4x + 2y +12 = 0 и 3x + y − 8 = 0.

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1,− 2)

параллельно прямой 6x − 3y +1 = 0.

10.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(6,−1) перпендикулярно прямой 3x + y − 8 = 0.

11.Найти расстояние от точки M (5,2) до прямой 8x + 6y − 20 = 0.

13.Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат, с центром в точке C(6,− 8).

14.Составить уравнение окружности, центр которой находится в начале

координат, если известно, что прямая 3x − 4y + 20 = 0 является касательной к окружности.

15.Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что фокусное расстояние равно 6, а эксцентриситет равен 0,6.

16.Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что эллипс

проходит через точки A(2, 3) и B(0, 2).

17. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5 и 2.

84

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что её оси равны 10 и 8.

19.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами равно 10, а мнимая ось равна 8.

20.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

уравнения асимптот y = ±125 x и расстояние между вершинами равно 48.

21.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола симметрично расположена относительно оси абсцисс и проходит через точку A(9,6).

22.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола симметрично расположена относительно оси ординат и проходит через точку A(3,8).

23.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3, − 7, 1) и перпендикулярной вектору n = (1, − 3, 2).

29.Найти расстояние от точки M (2, 1, − 3) до плоскости 4x + 5y + 3z + 2 = 0.

30.Составить общие, канонические и параметрические уравнения (в векторной и координатной формах) линии пересечения плоскостей α и

β, заданных уравнениями x − 2y + 2z − 8 = 0 и x + z − 6 = 0 соответственно.

31.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, 4, − 2) и

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой x−−11 = 2y = z +4 4.

85

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

33. Установить взаимное расположение прямой x−−34 = −y1 = z +1 2 и плоскости

3x + y +10z = 0.

каких – параболы.

4. Комплексные числа и их алгебраические приложения

4.1. Основные понятия и операции с комплексными числами

называются соответственно действительной и мнимой частями ком- плексного числа z и обозначаются символами a = Re z, b = Im z. Запись вида

(4.1) называется алгебраической формой комплексного числа.

Из определения 4.1 следует, что i2 = −1. Если Re z = 0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z, то число z будет действительным. Определение 4.2. Комплексные числа z1 и z2 называются равными, если равны соответственно их действительные и мнимые части:

z1 = z1 Re z1 = Re z2 , Im z1 = Im z2 .

Определение 4.3. Комплексные числа z = a + ib и z = a − ib называются комплексно-сопряжёнными.

Множество комплексных C чисел является расширением множества действительных чисел R за счёт присоединения к нему множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные числа N, целые числа Z ,

рациональные числа Q, иррациональные числа I, действительные числа

R являются частными случаями комплексных чисел.

Определение 4.4. Модулем комплексного числа z = a + ib называется число

| z |=| a + ib |= a2 + b2 .

86

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Отметим, что знаками каких-либо неравенств комплексные числа соединять нельзя, равно как нельзя использовать для комплексных чисел понятие «приближённо равно».

Введём на множестве C операции сложения, умножения и деления в соответствии со следующими определениями.

Определение 4.5. Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 называется комплексное число z3 , обозначаемое z1 + z2 , такое, что

z3 = z1 + z2 = (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ).

Определение 4.6. Произведением двух комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 называется комплексное число z3 , обозначаемое z1 × z2 , такое, что

z3 = z1 × z2 = (a1 + ib1 )× (a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 + ib1a2 + i2b1b2 = = (a1a2 - b1b2 ) + i(a1b2 + b1a2 ).

Из определений 4.5 и 4.6 следует, что сложение и умножение комплексных чисел осуществляется по правилам сложения и умножения многочленов. Определение 4.7. Частным от деления комплексного числа z1 = a1 + ib1 на

Как следует из определения 4.7, для деления комплексных чисел необходимо умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряжённое делителю, а затем воспользоваться определением 4.5.

Теорема 4.1. Операции с комплексными числами обладают следующими основными свойствами:

1. Операция сложения комплексных чисел коммутативна:

z1 + z2 = z2 + z1.

2. Операция сложения комплексных чисел ассоциативна: z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 .

3. Операция сложения комплексных чисел нейтральна относительно нуля:

z + 0 = z.

4. Для каждого комплексного числа z существует единственное противоположное число, обозначаемое − z такое, что

z+ (−z) = 0.

5.Операция умножения комплексных чисел коммутативна:

z1 × z2 = z2 × z1.

6. Операция умножения комплексных чисел ассоциативна:

87

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

z1 ×(z2 × z3 ) = (z1 × z2 ) × z3 .

7. Операция умножения комплексных чисел нейтральна относительно единицы:

z×1 = z.

8.Для каждого комплексного числа z ¹ 0 существует единственное

обратное число, обозначаемое z−1 такое, что z × z−1 = 1.

9. Операция умножения комплексных чисел дистрибутивна относительно операции сложения комплексных чисел:

z1 ×(z2 + z3 ) = z1 × z2 + z1 × z3.

10. Произведение комплексно-сопряжённых чисел равно квадрату их модуля:

z × z =| z |2 .

11. Комплексно-сопряжённое суммы комплексных чисел равно сумме комплексно-сопряжённых этих чисел:

z1 + z2 = z1 + z2 .

12. Комплексно-сопряжённое произведения комплексных чисел равно произведению комплексно-сопряжённых этих чисел:

Проверим правильность вычисления − z :

z + (-z) = - 12 + 12 i + 12 - 12 i = 0 + 0i = 0.

Обратное число найдём из утверждения 8 теоремы 4.1:

88

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Проверим правильность вычисления z−1 :

4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Понятие комплексного числа имеет геометрическую интерпретацию.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно его действительная и мнимая части. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная – мнимой осью (рис. 32). Плоскость xOy при этом

называется плоскостью комплексных чисел или плоскостью z. Каждой точке A(a,b) можно поставить в соответствие её радиус-вектор OA.

y

b A(a,b)

Рисунок 32. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Из геометрических соображений, приведённых на рис. 32, следует, что длина радиус-вектора точки A(a,b) равна модулю комплексного числа

z = a + ib.

Определение 4.8. Угол ϕ, образованный радиус-вектором OA точки A(a,b)

с положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа z = a + ib.

Очевидно, что аргумент комплексного числа z = a + ib имеет бесконечное количество значений, множество которых обозначим

символом

Из рис. 32 следует, что ϕ = tg ba . Из множества значений Arg z выделим

так называемое главное значение аргумента, которое лежит в полуинтервале (-π , π ] и обозначается символом arg z. Таким образом,

−π < argz ≤ π .

89

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Главные значения аргумента ϕ = arg z для различных чисел z = a + ib

определяется из соотношения

ϕ = arctg ba , если точка A(a,b) лежит в I или в IV квадранте,

или

ϕ = arctg ba + π , если точка A(a,b) лежит во II квадранте,

или

ϕ = arctg ba -π , если точка A(a,b) лежит в III квадранте.

Очевидно, что аргумент комплексного числа связан с его главным

значением равенством

Arg z = arg z + 2πk, k Z.

Таким образом, как следует из приведённых выше рассуждений,

каждое комплексное число однозначно определяется либо своими действительной и мнимой частью, либо значениями модуля и аргумента. С

помощью подобного геометрического представления можно записывать комплексные числа не только в алгебраической форме.

Теорема 4.2. Модуль и аргумент комплексного числа обладают

5. Аргумент частного комплексных чисел равен разности аргумента делимого и аргумента делителя:

Arg z1 = Arg z1 - Arg z2 . z2

Пример. Построим множество точек, удовлетворяющих системе нера-

венств

90

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com