2.2. Высказывания. Логические операции и их основные свойства

Определение 1. Суждением называется форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предмета, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Определение 2. Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно.

Например, «Москва – столица России», «число 2 больше 5» – высказывания. Первое высказывание является истинным, а второе – ложным.

Будем обозначать высказывания латинскими буквами:

Логическое значение высказывания «истина» обозначается цифрой «1», «ложь» – «0».

Предложения: «Который час?», «ответьте на вопрос», «добро пожаловать!» – не являются высказываниями.

Предложение «Была метель» также не является высказыванием, пос­кольку нет достаточной информации, чтобы установить истинно оно или ложно (где и когда?).

Определение 3. Формализацией высказываний называют операцию замены высказывания естественного языка формулой математического языка, включающего высказывательные переменные и символы тех логических операций, которые соответствуют структуре самого высказывания.

Определение 4. Если суждение об истинности высказывания можно вынести из самого высказывания, то такое высказывание называют простым. В противном случае мы имеем сложное (составное) высказывание.

Значение истинности составного высказывания определяется значениями истинности его компонент.

Из простых высказываний можно образовать новые составные высказывания с помощью союзов «и», «или», «либо», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», «неверно, что». Эти союзы называются логическими связками. Построение из данных высказываний нового составного высказывания называется логической операцией над высказываниями.

Основные логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (табл. 1).

Таблица 1

Логические операции

Название	Прочтение	Обозначение
Отрицание	Не; неверно, что	()
Конъюнкция	И; а	()
Дизъюнкция	Или
Импликация	Если … то
Эквивалентность	Тогда и только тогда, когда	(~)

Логическое значение сложного высказывания можно описать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности (верхняя строка содержит обозначения высказываний, последующие строки – логическое значение высказываний).

Пусть даны два произвольных высказывания и.

Определение 5. Отрицанием высказывания называется высказывание(«не», «неверно, что»), которое истинно, когдаложно, и ложно, когдаистинно.

Таблица истинности для отрицания:

0	1
1	0

Определение 6. Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний ,называется высказывание(«и»), которое истинно только в том случае, когдаиоба истинны.

Таблица истинности для конъюнкций:

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Определение 7. Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний ,называется высказывание(«или»), которое истинно, когда хотя бы одно из них истинно.

Таблица истинности для дизъюнкций:

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Определение 8. Импликацией двух высказываний , называется высказывание («если, то», «влечёт», «изследует», «имплицирует»), которое ложно тогда и только тогда, когдаистинно, аложно.

Таблица истинности для импликаций:

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Определение 9. Эквивалентностью высказываний ,называется высказывание(«эквивалентно», «тогда и только тогда, когда», «для того, чтобы, необходимо и достаточно, чтобы»), которое истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны или ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Для образования составных высказываний наряду с единичным использованием каждой основной связки можно пользоваться основными связками многократно, получая более сложные составные высказывания, – аналогично тому, как с помощью основных арифметических операций образуются сложные алгебраические выражения.

Например, составными будут высказывания: ;;.

Замечание 1. Скобки указывают порядок выполнения действий. Если скобок нет, то операции надо выполнять в следующем порядке: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Если отрицание относится ко всему высказыванию, например, , то оно выполняется последним. Если отрицание относится только к одному высказыванию, например,, тогда оно выполняется первым.

Каждое составное высказывание имеет свою таблицу истинности, которая может быть построена стандартным образом.

Определение 10. Формулой алгебры логики высказываний называется всякое простое высказывание, обозначаемое буквой, а также всякое составное высказывание, которое получается комбинированием простых высказываний с помощью конечного числа указанных выше основных операций (;;;;). Для любых формул можно построитьтаблицу истинности.

Определение 11. Таблицей истинности формулы называется сводная таблица всех значений входящих в нее высказываний и соответствующих значений самой формулы. Если формула содержит элементарных высказываний, то таблица содержитстрок.

Пример 1. Составьте таблицу истинности .

Решение

Составим таблицу истинности, последовательно выполняя логические операции, входящие в формулу:

0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	1	1

Пример 2. Пусть ,иобозначают соответственно высказывания: «Тимофей любит шахматы», «Тимофей любит футбол», «Тимофей любит баскетбол». Требуется записать высказывание: «Тимофей любит шахматы и неверно, что он любит футбол или баскетбол» в символической форме и указать соответствующую таблицу истинности.

Решение

Высказывание «Тимофей любит футбол или баскетбол» в символичес­кой форме записывается как . Высказывание «Неверно, что Тимофей любит футбол или баскетбол» символически записывается как, пос­кольку отрицание применяется ко всему высказыванию.

Итак, исходное высказывание символически изображается .

Таблица истинности этого высказывания:

1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 0 0 1 1 0 0	1 0 1 0 1 0 1 0	1 1 1 0 1 1 1 0	0 0 0 1 0 0 0 1	0 0 0 1 0 0 0 0

Пример 3. Запишите высказывание «Если число 72 делится на 6, а число 6 делится на 2, то число 72 делится на 2» в символической форме.

Решение

Выделим простые высказывания «число 72 делится на 6», «число 6 делится на 2», «число 72 делится на 2» и заменим их логическими переменными ,исоответственно.

Тогда исходное высказывание символически изображается .

Особый интерес представляют сложные высказывания, имеющие различное строение, но принимающие одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний. Такие высказывания называются логически эквивалентными (равносильными). Эквивалентность двух высказываний легко установить посредством сравнения их таблиц истинности.

Определение 12. Две формулы алгебры логики иназываютсяравносильными, если они принимают одинаковые логические значения (0 или 1) при одинаковых наборах значений входящих в них высказываний (пишут ).

Например, ,– равносильные формулы:

, так как и либо одновременно ложны, либо одновременно истинны при любом наборе значений высказываний, входящих в эти формулы, что и показано в таблице истинности:

0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 0 1	1 1 0 0	1 1 0 1

Определение 13. Формула называется тавтологией или тождественно истинной, если она принимает значение «истина» при всех значениях входящих в неё переменных.

Формулы иравносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентностьтождественно истинна. Записьозначает, что формулаявляется тождественно истинной.

Теорема. тогда и только тогда, когда.

Каждое высказывание вида – тавтология.

Определение 14. Логическая формула называетсятождественно ложной, или противоречием (записывается ), если для всех наборов значений входящих в нее переменных (высказываний) она принимает значение 0 («ложь»), т. е. если высказывание ложно в каждом случае.

Таблица истинности для противоречия содержит только значения 0 в итоговом столбце.

Заметим, что отрицание любой тавтологии есть противоречие: .

Определение 15. Формулы, не являющиеся ни тавтологией, ни противоречием, называются выполнимыми (разрешимыми). Таблица истинности таких формул содержит как 1, так и 0.

Равносильность формул можно доказывать либо с помощью таблиц истинности, либо методом равносильных (эквивалентных) преобразований, используя основные равносильности алгебры логики высказываний. Основные равносильности называют законами логики, они также применяются для упрощения формул, для приведения формул к заданному виду.

Основные равносильности алгебры высказываний:

1. –ассоциативность операций и;

2. –коммутативность операций и;

3. –закон идемпотентности;

4. –законы дистрибутивности;

5. –законы поглощения;

6. –законы склеивания;

7. –законы Порецкого;

8. –законы де Моргана;

9. ;

10. ;

11. ;

12. 

13. –закон двойного отрицания;

14. –закон исключения третьего;

15. –закон противоречия;

16. –закон контрапозиции.

Пример 4. Докажите равносильность с помощью формул алгебры высказываний:

а) ;

б) .

Решение:

a) используя формулу, запишем:, тогда по закону де Моргана и по закону двойного отрицания получим, что и требовалось доказать;

б) преобразуем левую и правую части к одному и тому же виду. Согласно законам де Моргана и двойного отрицания получим следующие выражения.

Левая часть: .

Правая часть:

После равносильных преобразований получили одинаковые формулы. Равносильность доказана.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями:

а) «ученики школы»;

б) «7 + 5 = 12»;

в) «сегодня плохая погода»;

г) «если , то»;

д) «у каждого человека есть домашнее животное»;

е) «для всех действительных чисел иверно равенство»;

ж) «треугольник равен треугольнику»;

и) «берегись автомобиля!».

2. Составьте таблицы истинности для логических формул:

а) ; г);

б) ; д).

в) .

3. Запишите следующие высказывания в символической форме и укажите соответствующую таблицу истинности:

а) «неверно, что ни Евгений, ни Николай не умеют играть на гитаре»;

б) «если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел»;

в) «неверно, что если белый кубик больше зеленого, а зеленый – больше синего, то синий кубик больше белого».

4. Проверьте с помощью таблицы истинности, будут ли эквивалентны следующие логические формулы:

а) ;

б) ;

в) .

5. Используя основные законы логических операций, докажите равносильность формул и, когда:

а) ; б) ; в) ;

; ; .

_{Дополнительные логические операции}. Кроме указанных ранее логических операций (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность), существуют и другие. Например, операция, через которую могут быть выражены все ранее указанные логические операции – штрих Шеффера. Эта операция обозначается символом .

Таблица истинности штриха Шеффера:

0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Очевидно, что ,. Из этих двух равносильностей следует, что всякая формула алгебры логики может быть заменена равносильной формулой, содержащей только штрих Шеффера. Операцию «штрих Шеффера» обычно определяют следующим образом.

Штрих Шеффера , или антиконъюнкция, по определению (читается «несовместимо с»).

В дополнение к ранее указанным пяти основным операциям перечислим новые логические операции (табл. 2).

Таблица 2