3. Элементы теории графов
3.1. Основные понятия теории графов
Графы возникли в XVIII столетии, когда известный математик, Леонард Эйлер пытался решить теперь уже классическую задачу о Кёнигсбергских мостах. В то время в городе Кёнигсберге (Калининград) было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголь и друг с другом.
Задача состояла в том, что необходимо было совершить прогулку по городу таким образом, чтобы, пройдя ровно по одному разу по каждому мосту, вернуться в то же место, откуда начиналась прогулка.
В 1736 г. Эйлер показал, что сделать это невозможно.
С тех пор поток задач с применением графов нарастал. Однако теория графов как математическая дисциплина сформировалась только в середине 30-х гг. XX в. благодаря работам таких математиков, как Г. Кёниг, Л.С. Понтрягин, А.А. Зыков и др.
Впервые же понятие «граф» ввел венгерский математик Д. Кёниг в 1936 г.
С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема движения автобуса. Точками на ней представлены остановки, а линиями – пути движения автобуса. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое дерево. И это дерево – граф. Применяются графы для решения задач химии, экономики, электротехники и автоматики, также широко используются в информатике и строительстве. Без графов сложно анализировать классификации в различных науках.
Определение
1. Неориентированным
графом (или
графом)
называется
совокупность двух множеств – непустого
множества
(множества
вершин)
и множества
неупорядоченных пар различных элементов
множества
(
–множество
ребер).
Обычно граф изображают в виде диаграммы, на которой вершины обозначаются точками, а ребра, соединяющие две вершины, – линиями между этими точками.
Например,
изображение графа с множеством вершин
и множеством ребер
может иметь следующий вид (рис. 12).
Изображение
графа с множеством вершин
и множеством ребер
может иметь вид, представленный на рис.
13.
|
|
|
|
Рис. 12 |
Рис. 13 |
Определение
2.
Пусть
– вершины,
– соединяющее их ребро. Тогда вершина
и ребро
инцидентны,
вершина
и ребро
такжеинцидентны,
при этом
называютсяконцами
ребра.
Два ребра, инцидентные одной вершине,
называются смежными;
две вершины, инцидентные одному ребру,
также называются смежными.
Определение 3. Ребро, соединяющее вершину саму с собой, называют петлей. Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными.
Определение
4. Степенью
вершины
называется удвоенное количество петель,
инцидентных этой вершине, плюс количество
остальных инцидентных ей ребер.
Обозначение:
.
Вершина степени 0 называетсяизолированной,
а степени 1 – висячей
(концевой).
Ребро, инцидентное висячей вершине,
называют концевым.
Например,
в
графе (рис. 14) вершины
и
– смежные,
и
инцидентны ребру
и являются его концами;
– смежные ребра; вершины
и
не являются смежными, поскольку между
ними есть вершина
,
и
– не являются смежными ребрами:
,
.
В
графе (рис. 15) вершина
– изолированная, вершина
– висячая; ребро, соединяющее вершину
саму с собой, образует петлю:
,
,
.
|
|
|
|
Рис. 14 |
Рис. 15 |
Теорема 1. Сумма степеней вершин графа всегда четная.
Теорема
2.
Сумма степеней всех вершин графа равна
удвоенному числу ребер, т. е.
,
где
– число ребер.
Определение 5. Ребро, имеющее направление от одной вершины к другой, называется направленным (или ориентированным, или дугой) и изображается стрелкой, направленной от вершины, называемой началом, к вершине, именуемой концом. Граф, содержащий направленные ребра, называется ориентированным графом (или орграфом).
Замечание 1. В орграфе у каждой вершины две степени: входящая (число ребер, входящих в вершину) и исходящая (число ребер, выходящих из вершины). Петля несет вклад в обе степени по одному.
Например,
изображение орграфа
(рис. 16) с множеством вершин
и множеством дуг
.
Рис. 16
Дуга
:
1 – начало дуги, 2 – конец дуги;
– петля; ребра
,
– кратные:
,
,
,
,
.
Определение
6.
Чередующаяся последовательность вершин
и ребер
в графе (или только ребер), в которой
любые два элемента инцидентны,
называется
маршрутом.
Количество ребер
,
входящих в маршрут, называютдлиной
маршрута.
Определение 7. Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью, а маршрут, для которого различны все вершины, называется простой цепью.
Определение 8. Замкнутая цепь называется циклом, а замкнутая простая цепь – простым циклом.
Определение 9. Цикл, который содержит все ребра графа, называется эйлеровым циклом. Простой цикл, содержащий все вершины графа, называется гамильтоновым.
Например, в графе (рис. 17):
–маршрут,
но не цепь (длина – 3);
–цепь,
но не простая цепь (длина – 5);
–простая
цепь (длина – 4);
–цикл,
но не простой цикл (длина – 6);
–простой
цикл (длина – 3).
Определение 10. Для орграфов цепь называется путем, а цикл – контуром.
Например, в орграфе (рис. 18):
и
– пути;
–контур.
|
|
|
|
Рис. 17 |
Рис. 18 |
Основные виды графов:
мультиграф – граф, содержащий кратные ребра;
граф с петлями – граф, содержащий петли (рис. 15);
псевдограф – граф, содержащий как петли, так и кратные ребра (рис. 16);
простой граф – граф без петель и кратных ребер (рис. 14);
полный граф – простой граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром (рис. 19);
дерево – простой граф, не содержащий циклов;
эйлеровый граф – граф, содержащий эйлеровый цикл;
гамильтоновый граф – граф, содержащий гамильтоновый цикл.
Рис. 19
Вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. Для следующего графа (рис. 20):
а) выпишите смежные вершины и смежные ребра;
б) выпишите вершины с инцидентными ребрами;
в) определите степени каждой вершины графа;
г) укажите,
как называются вершины
;
ребраV
и VI;
д) укажите, как называется такой граф.
2. Для следующих графов определите, чем являются последовательности ребер и вершин.
2.1. Для графа на рис. 21:
а)
;
в)
;
б)
;
г)
.
2.2. Для графа на рис. 22:
а)
;
в)
;
б)
;
г)
.
2.3.
Для графа на рис. 23:
.
3. Для следующего графа (рис. 24):
а) выпишите степени всех вершин;
б) определите, чем являются последовательности ребер и вершин: 1, 2, 1, 3, 4 и 1, 2, 4.
|
|
|
|
Рис. 20 |
Рис. 21 |
|
|
|
|
|
Рис. 22 |
Рис. 23 |
Рис. 24 |
Найдите эйлеровый граф (рис. 25).
а
б
в
Рис. 25