2.5. Основные сведения о комплексных числах

Комплексным числом называется выражение вида

, (2.6)

где – обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; – мнимая единица.

Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re, b = Im. Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

Г

Рис. 2.8. Вектор на комплексной плоскости

еометрически комплек­с­­ное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками + и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

На рис. 2.8 с =  – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а  = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cos, а b = c sin, то = c (cos + j sin) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера последняя преобразуется в показательную форму . Применяется еще и полярная форма , в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.

Свойства мнимой единицы (рис. 2.9):

Рис. 2.9. Единичный вектор в комплексной плоскости

, ,

,

,

и т.д.,

.

Два комплексных числа и называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):

Рис. 2.10. Сопряженные комплексные числа

,

=.

Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.

Действия над комплексными числами.

Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

=, т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых:а = а₁+а₂, b = b₁+b₂. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

+ =.

Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

(2.7)

где с = с₁  с₂,  =₁+₂;

,

где ,  =₁ – ₂ .

Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

Изобразим на комплексной плоскости два вектора: ₁ – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением ₁ на комплексное число с₂е ^j2. На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с₂ раз, а аргумент увеличился на ₂.

Р

Рис. 2.11. Перемножение комплекс­ных чисел

ассматривая комплексное чис­ло как вектор, мы приходим к следующему выводу.

При умножении вектора на комплексное число ае ^j, вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол .

Т

Рис. 2.12. Умножение вектора на j

ак как , то при умножении вектора на  j он поворачивается на угол  90 (рис. 2.12).

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:

,

или



Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j² = -1

=

.

При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

40