
- •2.6. Представление синусоидальных функций времени комплексными числами
- •2.7. Способы задания синусоидального тока
- •2.8. Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока
- •2.9. Понятие об активном сопротивлении. Синусоидальный ток в активном сопротивлении
- •2.10. Самоиндукция. Индуктивность. Синусоидальный ток в индуктивности
- •2.11. Синусоидальный ток в емкости
- •2.12. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
- •2.13. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
- •2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока.Эквивалентные сопротивления и проводимости
- •2.15. Закон Ома в символической форме для произвольной цепи
2.13. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
Рассмотрим схему, состоящую из параллельно соединенных активного и реактивных элементов (рис. 2.31, а).
Требуется по известным G, ВL, ВC, U рассчитать токи. Как и прежде, задачу будем решать двумя методами.
1. М е т о д в е к т о р н ы х д и а г р а м м.
Токи
ветвей находятся сразу:
,
,
.
Для
определения общего тока
необходимо построить векторную диаграмму
(рис. 2.31, б).
Построение начинаем с вектора напряжения,
так как оно является общим для всех
ветвей. Из векторной диаграммы имеем
или
,
где
– полная проводимость цепи, равная
.
Разность индуктивной
и емкостной проводимостей представляет
собой общую реактивную проводимость
цепи
.
Рис.
2.31. Электрическая цепь и ее векторная
диаграмма
Векторы
токов на диаграмме образуют треугольник
токов. Его горизонтальный катет,
представляющий проекцию вектора тока
на вектор напряжения, называется активной
составляющей тока и равен току в активном
элементе цепи:
(рис. 2.32, а).
Проекция вектора тока на направление,
перпендикулярное напряжению,
– это реактивная составляющая тока.
Она равна суммарному току реактивных
элементов
и определяется как разность
длин векторов:
(см. рис. 2.31,б
и 2.32, а).
Рис. 2.32. Треугольники токов и проводимостей
Разделив
все стороны треугольника токов на
,
получим треугольник проводимостей
(рис. 2.32, б),
стороны которого связаны следующими
соотношениями:
,
,
,
. (2.29)
2. С и м в о л и ч е с к и й м е т о д.
Раньше были получены следующие формулы:
,
,
.
Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:
или
,
где
– комплексная проводимость цепи, равная
Пример
2.12.
Для цепи, показанной на рис. 2.33, а,
рассчитать токи, угол сдвига фаз между
током и напряжением на входе цепи,
построить векторную диаграмму. Числовые
значения параметров цепи:
В,
Ом,
мкФ,
с-1.
Рис.
2.33. Электрическая цепь и ее векторная
диаграмма
Р е ш е н и е.
А,
Ом,
А,
А.
Векторная диаграмма приведена на рис. 2.33, б.
Угол
сдвига фаз
.
Величину общего тока можно найти иначе:
См,
См,
См,
А.
Пример 2.13. Начертить цепь, векторная диаграмма которой изображена на рис. 2.34, а.
Р е ш е н и е задачи показано на рис. 2.34, б.
Рис. 2.34. Векторная диаграмма и соответствующая ей электрическая цепь
Пример 2.14. Чему равно показание амперметра А на входе цепи в схемах рис. 2.35, если амперметры А1 и А2 во всех случаях показывают соответственно 4 и 3 А?
Рис. 2.35. Измерение тока в электрической цепи
Предлагаем для каждого случая самостоятельно построить векторную диаграмму и убедиться в правильности приведенных ответов: а) 5А, б) 7А, в) 1А.
2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока.Эквивалентные сопротивления и проводимости
На
рис. 2.36 показан пассивный двухполюсник,
состоящий из активных и реактивных
элементов. Действующие значения
напряжения
,
тока
и угол сдвига фаз между ними
известны.
Рис.
2.36. Пассивный двухполюсник
,
и
(рис. 2.37, а).
Как
и раньше,
и
будем называть активной и реактивной
составляющими напряжения. Изображенная
в таком виде диаграмма соответствует
схеме, показанной на рис. 2.37, б.
Действительно, для нее
,
и
.
Схема называется последовательной
схемой замещения или последовательной
эквивалентной схемой пассивного
двухполюсника, а ее параметры
,
и
– эквивалентными сопротивлениями
двухполюсника.
Рис. 2.37. Векторная диаграмма и соответствующая ей последовательная эквивалентная схема
Треугольник,
образованный сторонами
,
и
и подобный треугольнику напряжений,
представляет собой треугольник
сопротивлений (рис. 2.28, б),
для которого справедливы формулы (2.27).
Теперь
разложим в е к т о р т о к а на две
составляющие – активную
,
направленную по вектору напряжения, и
реактивную
,
перпендикулярную к нему (рис. 2.38, а).
Такой векторной диаграмме соответствует
параллельная схема замещения двухполюсника
(рис. 2.38, б).
Ее
параметры
,
и
называются эквивалентными проводимостями.
Токи в элементах
и
мы и представляем как активную и
реактивную составляющие общего тока:
,
.
Из треугольника токов (рис. 2.38, а)
получается треугольник проводимостей
(рис. 2.32, б),
стороны которого связаны между собой
формулами (2.29).
а) б)
Рис. 2.38. Параллельная эквивалентная схема и ее векторная диаграмма
Получим условия эквивалентности приведенных схем.
Для
последовательной цепи
,
для параллельной
,
а так как токи и напряжения в обеих
схемах одинаковы, то
и
,
(2.30)
т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.
Из сопоставления формул (2.27) и (2.29) можно записать:
и
.
Рассматривая последние выражения совместно с (2.30), можно получить две группы формул:
Формулы перехода от последовательной эквивалентной схемы к параллельной: |
Формулы перехода от параллельной эквивалентной схемы к последовательной: |
|
|
Обращаем внимание на то, что каждая из проводимостей G и B зависит от обоих сопротивлений – активного и реактивного. В свою очередь, каждое из сопротивлений определяется обеими проводимостями. Соотношения G = 1/R и B = 1/x справедливы только в частном случае, первое – при х = 0, второе – при R = 0.
Следует отметить, что активная и реактивная составляющие напряжения и тока физически не существуют, измерить их нельзя. Они относятся только к соответствующим эквивалентным схемам замещения и находятся расчетом. Более того, проектируя, например, вектор тока на различные напряжения, мы получим для него разные составляющие.
Пример 2.15. Найти общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных активного R = 30 Ом и индуктивного х = 40 Ом сопротивлений (рис. 2.39, а).
Рис. 2.39. Схемы к примерам 2.15–2.17
Р
е ш е н и е. Так как в левой ветви реактивного
сопротивления нет, то ее проводимость
в соответствии с (2.31) равна G
= 1/R.
Аналогично, во второй ветви B
= 1/x.
Полная
проводимость цепи
.
В соответствии с (2.30) полное сопротивление
цепи
Ом.
Пример 2.16. Рассчитать общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных индуктивности L = 0,478 Гн и емкости С = 31,85 мкФ (рис. 2.39, б). Частота питающего напряжения f = 50 Гц.
Р е ш е н и е. Определяем сопротивления ветвей:
Ом,
Ом.
Так как в ветвях отсутствуют активные сопротивления, то их проводимости соответственно равны BL = 1/xL и BC = 1/xС. Полная эквивалентная проводимость цепи не содержит активной составляющей и равна
.
Полное эквивалентное сопротивление
Ом.
В рассматриваемой цепи активных элементов нет, она носит чисто реактивный характер. Он может быть индуктивным или емкостным. Знак минус в ответе свидетельствует о последнем, т.е. вся цепь может быть заменена конденсатором емкостью
мкФ.
Пример 2.17. Амперметр А, вольтметр V и фазометр , включенные в цепь катушки (рис. 2.39, в), дали следующие показания: U = 220 В, I = 4,4 А, cos = 0,8. Частота питающего напряжения 50 Гц. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения катушки.
Р е ш е н и е. Находим параметры последовательной эквивалентной схемы:
Ом,
Ом,
Ом.
Рассчитываем элементы параллельной эквивалентной схемы:
См,
См,
См.
После определения эквивалентных сопротивлений эквивалентные проводимости можно было найти иначе, по формулам (2.31):
См,
См,
См.
Рис.
2.40. Расчетная схема
В,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
Р е ш е н и е. Определяем полные сопротивления второй и третьей ветвей:
Ом,
Ом.
Преобразуем эти ветви в эквивалентные параллельные (рис. 2.41, а).
Рис. 2.41. Преобразования электрической цепи
Их проводимости:
См,
См,
См,
См.
Суммируем
активные и реактивные проводимости
параллельных ветвей:
См,
См
(см. рис. 2.41, б).
Определяем
эквивалентные сопротивления участка
(рис. 2.41, в):
Ом,
Ом,
Ом,
и полное сопротивление цепи:
Ом.
Ток на входе цепи I1 = U/z = 220/41,53 = 5,297 A.
Напряжение
на участке
Uab=
I1zab=
119,7 В.
Токи второй и третьей ветвей:
А,
А.
Еще
раз напоминаем, что для численных
значений токов и напряжений законы
Кирхгофа неприменимы:
.