Глава 7. Действие магнитного поля на ток и заряд Основные формулы и соотношения

1. Сила, действующая на проводник с током , находящийся в магнитном поле, определяется по закону Ампера

или , (7.1)

где l– длина проводника, находящегося в магнитном поле;– угол между элементом проводника с токоми вектором магнитной индукции.

Выражение (7.1) справедливо для прямолинейного проводника с током, помещенного в однородное магнитное поле.

2. Для неоднородного магнитного поля непрямолинейного проводника закон Ампера можно применять к каждому элементу длины проводника с током 

, (7.2)

где – вектор элемента длины проводника, проведенный в направлении тока.

3. Направление вектораможно найти согласно общим правилам векторного произведения или по мнемоническому правилу. Лучше пользоваться универсальным способом: векторсовпадает по направлению с векторным произведением(рис. 7.1).

4. Для тока , текущего в контуре, произведение токана площадьS, ограниченную контуром, называют магнитным моментомконтура с током

. (7.3)

Магнитный момент– векторная величина, совпадающая с положительным направлением нормалик плоскости контура, и связана с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 7.2). Механический момент, действующий на замкнутый контур с током, помещенный в однородное магнитное поле с индукциейВ:

или . (7.4)

5. Сила, с которой магнитное поле действует на одиночный электрический заряд, движущийся со скоростью в этом поле, называется силой Лоренца

или , (7.5)

где – скорость движущегося заряда,– угол между векторамии,– магнитная индукция поля.

Взаимное расположение векторов,и(рис. 7.3) определяется векторным произведем (7.5) и показана для случая положительных зарядов на рис. 7.3,а, для отрицательных – на рис. 7.3,б.

Порядок решения задач по теме

1. Распознать явления, которым соответствует описанная в задаче ситуация:

– выделить тело, с которым происходит изменение, и его характеристики в начальном состоянии;

– выделить конечное состояние тела и его характеристики;

– установить воздействия, которые привели к изменению состояния тела.

2. Построить модель ситуации, описанной в задаче.

3. Составить уравнения, описывающие построенную модель.

4. Решить полученную систему уравнений, и найти расчетную формулу.

5. Представить развернутый ответ.

Примеры решения задач

Пример 1.Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи. Определить силуF, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии равном ее длине.

Решение: Силы, действующие на рамку с током со стороны магнитного поля длинного прямого провода с током, выражаются формулой (7.1). Направление вектора силы определяем общим правилом векторного произведения. Вектор индукциимагнитного поля перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам слева от проводника с током (на рис. 7.4 это изображено точками), а справа от нас (это изображено крестиками). Направление сил, действующих со стороны провода с током, определим по правилу левой руки. Стороны,расположены одинаково относительно провода с токомI, действующие на них силыF₁иF₃должны быть численно равны и противоположно направлены, они уравновешиваются. СилыF₂иF₄определим из формулы силы Ампера

где , тогда. Магнитная индукция провода с током.

Подставим значение Ви найдем

.

Подставим значение В и найдем

где ;.

Результирующая сила

Считая, что , получаем. Проверим единицы измерения:

.

Произведем расчет:

.

Ответ: сила, действующая на рамку, .

Пример 2. Электронпрошел ускоряющую разность потенциаловU= 800 В и, влетев в однородное магнитное поле В = 47 мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагомh= 6 см (рис. 7.5).

Определить радиус винтовой линии.

Решение: Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциаловU, приобретает скоростьV, которую определяют из условия: работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда, идет на увеличение кинетической энергии заряда.. Скоростьнаправлена под угломк вектору В. Движение будет складываться из двух движений. Во-первых, он будет двигаться вдоль винтовой линии с постоянной скоростью, сила Лоренца равна нулю. Во-вторых, он будет двигаться по окружности под действием силы Лоренца со скоростью. Сила Лоренца является центростремительной. Подставим значения. Определим, период движения электрона по окружности:

.

Определим .

На рис. 7.5 видно , подставив значения, получим

,

тогда или

.

Находим радиус .

Проверим единицы измерения:

Произведем вычисления

.

Ответ: радиус винтовой линии .

Пример 3.Электрон () в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл движется по окружности (рис. 7.6). Найти величину эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона.

Р

ешение: Магнитный момент, созданный движением электрона по орбите, где– ток, созданный движением электрона по орбите,,

где V– скорость движения электрона можно определить из условия,, тогда.

Подставим значение скорости, определим силу тока: .

Проверим единицы измерения

.

Проверим вычисление

Ответ: cила эквивалентного тока.

Задачи

701. Квадратная проволочная рамка со стороной aрасположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу с током. По рамке и проводу текут одинаковые токи= 1 кА. Определить расстояниеrближайшей к проводу стороны рамки, если на рамку действует силаF= 0,1 Н. (Ответ:).

702. Проводник в виде тонкого полукольца радиусом R= 10 см находится в однородном магнитном поле с индукциейB= 50 мТл. По проводнику течет ток= 10A. Найти силуF, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а проводящие провода находятся вне поля. (Ответ:).

703. По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток . Под ним на расстоянииR = 1,5 см находится параллельный ему алюминиевый провод по которому пропускают ток . Определить, какой должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода, чтобы он удерживался незакрепленным. (Ответ:).

704. Два параллельных прямых провода длиной l= 2,5 м, по которым текут токиJ= 10³A, взаимодействуют с силойF= 2,5 Н. Определить расстояние между проводами. (Ответ:r= 0,2 м).

705. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной по 2 м, отстающие друг от друга на расстояние d=20см. Определить силу взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним течет ток с силой= 10⁴ A. (Ответ:F= 200 Н).

706. По двум параллельным проводам длиной l= 1 м каждый текут токи одинаковой силы. Расстояние между проводамиd= 1 см. Сила взаимодействия токовF= 1 мН. Какова сила тока в проводах. (Ответ: 7 А).

707. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии друг от друга d = 10 см, текут одинаковые токи 100 А. В двух проводниках направления токов совпадают. Вычислить силу, действующую на единицу длины каждого провода. (Ответ: ).

708. По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной 20 см текут токи по = 10A. Определить силу взаимодействия контуров, если расстояние между соответственными сторонами контураd= 2 мм. (Ответ:).

709. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле и стали двигаться по окружностям радиусами R₁ = 3 см иR₂ = 1,73 см. Определить отношение масс ионов, если они прошли ускоряющую разность потенциалов. (Ответ:).

710. Однозарядный ион натрия прошел ускоряющую разность потенциалов U= 1 кВ и влетел перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородное полеB= 0,5 Тл. Определить относительную массу иона, если он описал окружность радиусомR= 4,37 см. (Ответ:).

711. На фотографии, полученной в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле, траектория электрона представляет дугу радиусом 10 см. Индукция магнитного поля . Определить энергию электрона в электрон-вольтах. (Ответ: Т = 88 кэВ).

712. Индукция магнитного поля циклотрона B= 2 Тл. Какова частота ускоряющего поля между дуантами, если в циклотроне ускоряются дейтроны? (Ответ:= 15 МГц).

713. Определить частоту вращения электрона по круговой орбите в магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. (Ответ: ).

714. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом R= 5 см и шагомh= 20 см. Определить скорость электрона, если индукция магнитного поляB= 0,1 мТл. (Ответ:).

715. Электрон с кинетической энергией 1 кэВ попал в однородное магнитное поле с индукцией B= 21 мТл и стал двигаться по окружности. Определить магнитный момент эквивалентного кругового тока. (Ответ:).

716. Ион, попав в магнитное поле с индукцией B= 0,01 Тл, стал двигаться по окружности. Определить кинетическую энергию иона (в электрон-вольтах), если магнитный момент эквивалентного кругового тока. (Ответ:).

717. Протон влетел в скрещенные под углом 120^о магнитное (В = 50 мТл) и электрическое (Е = 20 кВ/м) поля. Определить ускорение протона, если его скоростьперпендикулярна векторами. (Ответ:).

718. Ион, пройдя ускоряющую разность потенциалов U= 64,5 В, влетел в скрещенные под прямым углом однородное магнитное (B= 1,5 мТл) и электрическое (Е = 200 В/м) поля. Определить отношение заряда иона к его массе, если ион в этих полях движется прямолинейно и равномерно. (Ответ:).

719. α-частица влетела в скрещенные под прямым углом магнитное (B= 5 мТл) и электрическое (E= 30 кВ/м) поля. Определить ускорениеα-частицы, если ее скоростьперпендикулярна векторами, причем силы, действующие со стороны этих полей, противонаправлены. (Ответ:).

720. Частица, несущая один положительный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией B= 0,5 Тл. Определить момент импульса, которым обладала частица, если ее траектория представляла дугу окружности радиусомR= 0,2 м. (Ответ:).

721. Магнитное (В = 2 мТл) и электрическое (Е = 1,6 кВ/м) поля сонаправленны. Перпендикулярно векторам В и Е влетает электрон со скоростью v = 0,8 Мм/с. Определить ускорение электрона. (Ответ: ).

722. В скрещенные под прямым углом однородные магнитное (напряженностью Н = 1 МА/м) и электрическое (напряженностью Е = 50 кВ/м) поля влетел ион. При какой скорости иона (по модулю и направлению) он будет двигаться прямолинейно? (Ответ: ).

723. α-частица, имеющая скорость, влетает под угломк сонаправленным магнитному В = 1 мТл и электрическомуЕ = 1 кВ/м полям. Определить ускорение α-частицы. (Ответ: ).

724. Электрон влетает в плоский конденсатор параллельно его пластинам со скоростью . Длина конденсатора 5 см, напряженность электрического поля Е = 100 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля. Индукция магнитного поля. Найти: радиус винтовой траектории электрона в поле и шаг винтовой линии. (Ответ:).

725. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 3 кВ влетает в магнитное поле соленоида под углом 30^ок оси соленоида. Число Ампер-витков соленоида. Длина соленоида 25 см. Найти шаг винтовой траектории электрона. (Ответ:).

726. Электрон влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить силу эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона в магнитном поле. (Ответ: ).

727. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 20 мТл под углом к линиям магнитной индукции. Определить шаг и радиус винтовой линии, по которой будет двигаться протон в магнитном поле. (Ответ:h = 0,64 м; ).

728. α-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов, стала двигаться в однородном магнитном поле с индукцией В = 50 мТл по винтовой линии с шагом h = 5 сми радиусомR= 1 см. Определить ускоряющую разность потенциалов. (Ответ:U= 10 В).

729. Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно сокращенным под прямым углом электрическому () и магнитному (В = 0,25 Тл) полям, не испытывает отклонений при определенной скорости. Определить эту скорость и возможные отклонения V от нее, если значение индукции и напряженности электрического и магнитного полей могут быть обеспечены с точностью, не превышающей 0,2 %. (Ответ: ).

730. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона . Индукция магнитного поля В = 10 мТл. Определить тангенциальное и нормальное ускорение. Ответ:.