Глава 5. Энергия системы точечных зарядов Основные формулы

В общем случае, когда система содержит nточечных зарядов, энергия взаимодействия этих зарядов может быть описана формулой

,

где – потенциал, создаваемый в месте нахожденияi-го заряда системой, за исключением этого i-го заряда.

Энергия заряженного проводника:

.

где Q – заряд проводника; – потенциал проводника; С – электроемкость проводника.

Энергия системы заряженных проводников (конденсатора)

,

где – разность потенциалов между обкладками конденсатора; С – электроемкость конденсатора.

Сила, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга:

,

где S – площадь пластин; – диэлектрическая проницаемость среды, минус указывает, что силаF является силой притяжения.

Плотность энергии поля напряженностью Е, созданного в среде с диэлектрической проницаемостью , следующая

.

Примеры решения задач

Пример 1.Конденсатор электроемкостьюC₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциаловU₁ = 40В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конден­сатором электроемкостьюC₂ = 5 мкФ. Определить энергию, из­расходо­ван­ную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, имеет вид:

, (5.1)

где – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоедине­ния к нему второго конденсатора;– энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Подставив в равенство (5.1) формулу энергии заряженного конденсатораи приняв во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных кон­денсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, по­лучим

, (5.2)

где и– электроемкости первого и второго конденсаторов;U₁ – разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора ос­тался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

.

Подставив это выражение U₂ в формулу (5.2):

.

После простых преобразований найдем:

.

Пример 2. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 1 кВ. Расстояние между пластинами конденсатора d = 1 см. Диэлектрик – стекло. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.

Решение. Объемная плотность энергии конденсатора

, (5.3)

где W – энергия поля конденсатора; V – объем, занимаемый полем, т. е. объем пространства, заключенного между пластинами конденса­тора.

Энергия поля конденсатора определяется по формуле

, (5.4)

где U – разность потенциалов, до которой заряжены пластины конден­сатора; C – его электроемкость. Но ,. Подставив выражение для определения емкости C в формулу (5.4) и затем выра­жения W и V в формулу (5.3), получим:

.

Подставив значения величин в послед­нюю формулу и вычислив, найдем

.

Задачи

501. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из парафиновой бумаги (= 2) 2 мм, а напряжение между пластинами 200 В. Найти плотность энергии поля. (Ответ:).

502. Плотность энергии заряженного воздушного конденсатора , площадь пластин. С какой силой взаимодействуют обкладки конденсатора? (Ответ: 3 Н).

503. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов 6 кВ. Заряд Q каждой пласти­ны равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин. (Ответ: W = 30 мкДж; F = 15 мН).

504. Сила F притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора равна 50 мН. Площадь каждой пластины равна 200 см². Найти плотность энергии  поля конденсатора. (Ответ: ).

505. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 10 см каждая. Расстояние между пластинами равно 1 см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу нужно сов3ершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить рас­стояние между ними до 3,5 см? (Ответ: 50 мкДж).

506. Конденсаторы электроемкостями С₁ = 1 мкФ; С₂ = 2 мкФ; С₃ = 3 мкФ включены в цепь с напряжением 1,1 кВ. Определить энергию каждого конденсатора в случае последовательного их включения параллельного включения. (Ответ: ;;).

507. Конденсаторы электроемкостями С₁ = 1 мкФ, С₂ = 2 мкФ, С₃ = 3 мкФ включены в цепь с напряжением 1,1 кВ. Определить энергию каждого конденсатора в случае их параллельного включения. (Ответ: ;;).

508. Определить энергию, перешедшую в тепло при соединении воздушных конденсаторов одноименно заряженными обкладками. Емкость первого конденсатора С₁ = 2 мкФ, второго – С₂ = 0,5 мкФ. Напряжение на первом конденсаторе до соединения U₁ = 100 В, а на втором – U₂ = 50 В. (Ответ: 0,5 мДж).

509. Конденсатор емкостью 8 мкФ подключен к источнику напряжением 100 В. Вычислить работу, необходимую для вдвигания пластины с относительной диэлектрической проницаемостью, равной 4. Пластина занимает весь объем конденсатора. (Ответ: 0,12 Дж).

510. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 300 В и отключен от источника тока. Определить работу внешней силы по увеличению расстояния между пластинами конденсатора вдвое. Заряд конденсатора 100 мкКл. (Ответ: 0,015 Дж).

511. Энергия заряженного плоского конденсатора равна 20 мкДж. Отключив конденсатор от источника, вынимают диэлектрик, совершив при этом работу 80 мкДж против сил электрического поля. Чему равна диэлектрическая проницаемость диэлектрика? (Ответ: 5).

512. Два одинаковых шара емкостью по 4,8 мкФ заряжены до разности потенциалов +1000 В и –1000 В. Вычислить энергию, которая выделится в проводнике, которым соединят шары. (Ответ: 4,8 Дж).

513. Емкость одного шара 8 мкФ, а потенциал – 1000 В. Емкость второго шара 2 мкФ, потенциал – 1000 В. Сколько энергии выделится в проводнике, которым соединяют шары? (Ответ: 3,2 Дж).

514. Шар, емкость которого 8 мкФ, заряжен до потенциала 2000 В. Его соединяют проводником с незаряженным шаром емкостью 32 мкФ. Определить энергию, выделившуюся в проводнике. (Ответ: 12,8 Дж).

515. Какое количество теплоты выделится при заземлении заряженного до потенциала шара радиусаR = 5 см. (Ответ: 25 мкДж).

516. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (= 5), объем которого равен 100 см³. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора рав­на . Вычислить работу, которую необходимо совер­шить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора. (Ответ: 354 мкДж).

517. Вычислить энергию электростатического поля металлического шара, которому сообщен заряд 100 нКл, если диаметр шара равен 20 см. (Ответ: 0,9 мДж).

518. Плоский воздушный конденсатор зарядили и отключили от источника, а затем погрузили в керосин, диэлектрическая проницаемость которого равна 2. Определить отношение энергии, первоначально запасённой в конденсаторе, к конечной энергии. (Ответ: 0,5).

519. При разряде батареи, состоящей из 20 параллельно включенных конденсаторов, выделилось 10 Дж тепла. Емкость каждого конденсатора 4 мкФ. Определить напряжение на конденсаторах. (Ответ: 500 В).

520. Два конденсатора емкостью 100 nФ и 2400 nФ соединены последовательно. Определить энергию этой батареи конденсаторов, если на нее подается напряжение 150 В. (Ответ: 1,1 мкДж).

521.Четыре одинаковых заряда по 1 мкКл каждый помещены в вершины квадрата со стороной 10 см. Определить энергию электрического поля, созданного зарядами. (Ответ: 0,487 Дж).

522. Три одинаковых заряда по 1 мкКл каждый помещены в вершины равностороннего треугольника со стороной 10 см. Определить энергию электрического поля, созданного зарядами. (Ответ: 0,27 Дж).

523. Четыре одинаковых заряда по 10 мкКл каждый помещены в вершины квадрата со стороной 5 см. Определить энергию электрического поля, созданного зарядами. (Ответ: 0,244 Дж).

524. Одинаковые заряды по 1 мкКл каждый помещены в вершины правильного шестиугольника со стороной 10 см. Определить энергию электрического поля, созданного зарядами. (Ответ: 0,83 Дж).

525. Определить объемную плотность поля конденсатора, расстояние между пластин которого 2 см, напряжение на конденсаторе 100 В. (Ответ: 110 мкДж).

526. Определить объемную плотность поля конденсатора, расстояние между пластин которого 2 мм, напряжение на конденсаторе 10 В. (Ответ: 110 мкДж).

527. Какое количество теплоты выделится при разряде плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами равна 15 кВ, расстояние между пластинами 1 мм, диэлектрик – слюда (= 6) ирадиус пластин 1 см? (Ответ: 1,9 мДж).

528. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал 4,5 кВ и поверхностную плотность заряда . Определить энергию поля шара. (Ответ: 15,8 мкДж).

529. Найти объемную плотность энергии электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 2 см от поверхности заряженного шара радиусом 1 см. Поверхностная плотность заряда на шаре . (Ответ:).

530. Найти объемную плотность энергии электрического поля вблизи бесконечно заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда плоскости . (Ответ:).