4. Аналитические методы расчета вантовых мостов

4.1. Статический расчет методами строительной механики

Вантовые системы с балками жесткости представляют собой многократно статически неопределимые системы, если ванты рассматривать как жесткие стержни с осевой жесткостью и с изгибной жесткостью0. При этом ванты работают на усилия обоих знаков и обеспечивают при любом загружении геометрическую неизменяемость системы.

Для расчета стержневых статически неопределимых систем в строительной механике применяются три метода:

– метод сил, когда основная система получается введением лишних неизвестных : усилий в вантах, изгибающих моментов в балке;

– метод перемещений, когда основная система получается путем введения жестких заделок в узлы конструкций; в качестве неизвестных используются углы поворота и перемещения этих заделок ;

– смешанный метод, который представляет собой комбинацию двух предыдущих методов и использует частично и частично

Указанные методы предполагают решение задачи в плоской постановке. Реальная задача расчета современных вантовых мостов гораздо сложнее, так как в них широко используются пространственные системы и балки жесткости, представляющие собой тонкостенные конструкции.

Расчет вантового моста требует последовательного использования расчетных схем, различных по уровню детализации проектируемой системы: плоская постановка задачи, далее пространственная расчетная схема и, наконец, пластинчато-стержневая модель балки, решаемая численными методами прикладной теории упругости. Сюда же следует отнести деформационный расчет пилона на устойчивость с учетом его неоднородности и начальных искривлений и др.

Подробно современная постановка расчета вантовых мостов (ВМ) изложена в [4], где отмечается, что наибольшее применение нашли методы конечных разностей и конечных элементов (МКЭ).

При проектировании вантовых и висячих мостов МКЭ успешно применяется для стержневых моделей плоского и пространственного типов. Он решает и специальные вопросы: распределение напряжений в местах анкеровки вант, развитие трещин в железобетонных балках и др. Важное преимущество метода – возможность формирования матриц жесткости, учитывающихряд нелинейных эффектов. К основным недостаткам метода конечных элементов следует отнести большое число неизвестных, что затрудняет обозримость промежуточных и конечных результатов, а также внесение исправлений в процессе вычислений.

Поэтому разработка методик, основанных на использовании метода сил и смешанного метода, отнюдь не утратила актуальности, прежде всего, для оценки результатов сложных расчетов, а также для включения простых алгоритмов в более сложные.

Рис. 4.1. К расчету вантовых систем методом сил: а, б – расчетные схемы; в, г – основные системы

Рассмотрим основные положения применения метода сил в расчетах вантовых мостов. Степень статической неопределимости вантовых систем с радиальным, веерным и параллельным расположением вант (рис. 4.1, а, б)для метода сил можно установить с помощью выражения [6]

(4.1)

где – количество вант, включая оттяжки;– количество опор балки жесткости;– количество подвижных опираний балки жесткости, включая шарниры в ней, а также подвижные опирания вант на пилонах= =

При выборе основной системы используются следующие приемы задания лишних неизвестных (рис. 4.1, в,г):

• разрез балки жесткости по оси симметрии (три лишних неизвестных Х₁, Х₂, Х₃);

• введение шарниров в балку жесткости над промежуточными опорами и в местах прикрепления вант Х₄;

• разрез вант: лишние неизвестные – усилия в вантах Х₅.

Учитывая, что в основной системе перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю, составляется система канонических уравнений порядка j (j– число лишних неизвестных в заданной системе):

(4.2)

Здесь Х₁… Х_j– лишние неизвестные;– коэффициенты при неизвестных (суть перемещения), определяемые по формуле Мора

где первое слагаемое – деформации изгиба балки жесткости по всей ее длине второе слагаемое – продольные деформации вант и пилоновпричем деформациями пилонов можно пренебречь. Обычнотак чтоПоэтому можно принять

при  = 1,05…1,1;

– грузовые члены (суть перемещения по направлению соответствующих связей от нагрузки) – изгиб балки от заданной нагрузки.

Для распорных вантовых систем необходимо учитывать дополнительные усилия от изменения температуры. В этом случае в (4.2) используются свободные члены от температурной нагрузки гдедлина элемента;– коэффициент линейной деформации элемента;– повышение температуры,С.

При расчетах вантовых систем с высокой степенью статической неопределимости (более 5) необходимо использование ЭВМ.

Для иллюстрации процедуры расчета вантовых систем методом сил рассмотрим пример, заимствованный из работы [6].

К расчету принята симметричная однопролетная распорная вантовая система с балкой жесткости, нагруженная сплошной равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой (рис. 4.2,а).

Согласно выражению (4.1) система 6 раз статически неопределима. В качестве лишних неизвестных принимаются усилия в шести вантах (рис. 4.2, б). В силу симметрии системы и нагрузки считается, что симметрично расположенные ванты имеют одинаковые усилия. Опорные части на обоих концах балки принимают подвижными. При симметричной нагрузке положение балки изменяться не будет.

Рис. 4.2. К расчету вантовой системы: а – расчетная схема; б – основная система; в – схема загружения балки силой Х₁; г – эпюра изгибающих моментов при действии силы Х₁; д – то же силы Х₂

Неизвестные усилия в вантах определятся из системы канонических уравнений вида:

(4.3)

Величины коэффициентов при неизвестных, например определяют по формуле

. (4.4)

На практике установлено, что первое слагаемое значительно больше второго, поэтому можно принять

(4.5)

где –коэффициент, несколько больший единицы.

При по длине балки интегралнаходят, используя рис. 4.2,в, на котором показаны эпюры изгибающих моментов. Умножив эпюру саму на себя, получим

Следовательно,

(4.6)

По аналогии с формулой (4.5) коэффициент

(4.7)

Интеграл находят перемножением эпюр (рис. 4.2,г,д):

Учитывая, что получим

Следовательно,

(4.8)

Аналогично можно определить остальные коэффициенты уравнений (4.3):

; ;

; (4.9)

.

Для составления системы уравнений (4.3) необходимо определить также грузовые члены. Например, можно найти как изменение расстояния между концами разрезанного стержняА-1 под действием заданной нагрузки. Для этого сначала находят по формуле строительной механики перемещение узла 1 (см. рис. 4.2) от изгиба балки распределенной нагрузкой p:

Составляющая перемещения по направлению ванты А-1будет равнаПри таких перемещениях работают одновременно две ванты:

(4.10)

Аналогично можно получить

(4.11)

(4.12)

Величины коэффициентов в выражениях (4.6), (4.8), (4.9) можно принять равными:

Полученные коэффициенты можно, по-видимому, применять в приближенных расчетах вантовых систем с другим числом панелей (от 3 до 9).

С учетом полученных значений ирешается система уравнений (4.3), в результате чего находятся неизвестныет. е. усилия в вантах соответственноУсилие в оттяжке будет равно:

(4.13)

Для определения изгибающих моментов в балке жесткости рассматривается двухопорная балка пролетом загруженная равномерно распределенной нагрузкой(постояннаяgплюс временнаяи вертикальными составляющими усилий в вантах (рис. 4.3,а):

.

Для рассматриваемого загружения имеем:

при а << 2 а;

при

Характер эпюры изгибающих моментов в балке при одинаковых панелях показан на рис. 4.3. Наибольший момент – в середине пролета.

При определении усилий в элементах распорной вантовой системы от изменения температуры используются канонические уравнения вида:

;

; (4.14)

.

Рис. 4.3. К определению изгибающих моментов в балке жесткости: а – схема загружения балки; б – эпюра изгибающих моментов

Коэффициенты при неизвестных здесь те же, что и в уравнениях (4.3), т. е. определяются по формулам (4.6), (4.8), (4.9). Свободные члены уравнений имеют выражения:

;;,

где – коэффициент линейной деформации элемента;– повышение температуры,С.

Пользуясь приведенной системой уравнений, можно получить усилия в вантах и их вертикальные составляющие для определения изгибающих моментов в балке жесткости.

Расчеты показывают [6], что изменение температуры существенно влияет на величину изгибающих моментов в балке (25…40 %) и незначительно на усилия в вантах (2…4 %). Не производя решения системы (4.14), можно принимать изгибающий момент в середине пролета балки от изменения температуры:

. (4.15)

Приведенные выше оценки изгибающих моментов в балке даны без учета искусственного регулирования усилий, которое может существенно изменить эти моменты.

Так, с помощью регулирования усилий можно уменьшить изгибающие моменты в балке примерно в два раза при незначительном увеличении усилий в вантах (на 5…10 %). Следовательно, такое регулирование производить целесообразно.