5.3.3. Знаходження частинного розвязку лінійного неоднорідного диференціального рівнянняn –го порядку методом Коші

Припустимо, що для рівняння (5.52) відома фундаментальна система розвязків . Використовуючи (5.53), побудуємо частинний розвязок диференціального рівняння (5.52), який задовольняє початковим умовам

. (5.68)

Цей розвязок буде залежати від , як від параметра. Тут, функціямає неперервні частинні похідні потадоn –го порядку включно. Причому, вона є розвязком диференціального рівняння (5.52) . Крім цього, в силу початкових умов (5.68), функціязадовольняє умовам

, (5.69)

де

.

Умову (5.69) можна записати і так

, (5.70)

де

.

Розглянемо функцію

, (5.71)

де і покажемо, що ця функція є частинним розвязком диференціального рівняння (5.49) з початковими умовами

.

Для цього використаємо формулу

.

Знаходимо похідні

,

,

………………………… (5.72)

,

.

Підставимо (5.72) в диференціальне рівняння (5.49), отримаємо

.

Тобто , а це означає, що функція (5.71) є частинним розвязком диференціального рівняння (5.49). Формула (5.71) називається формулою Коші.

5.4. Лінійні диференціальні рівняння n –го порядку зі змінними коефіцієнтами, які зводяться до рівнянь з постійними коефіцієнтами

1. Рівняння Ейлера

Це рівняння вигляду

. (5.73)

Це рівняння приводиться до рівняння з постійними коефіцієнтами заміною

. (5.74)

Дійсно

,

, (5.75)

……………………

.

Підставляючи (5.74) і (5.75) в диференціальне рівняння (5.73) ми отримаємо диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами

. (5.76)

Частинні розвязки диференціального рівняння (5.76) знаходять у вигляді . Враховуючи (5.74), частинні розвязки диференціального рівняння (5.73) можна зразу шукати у вигляді (5.74)

. (5.77)

2. Рівняння Лагранжа має вигляд

. (5.78)

Це рівняння заміною також приводиться до диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

3. Рівняння

(5.79)

називається рівнянням Чебишева і після заміни привоно набирає вигляду

. (5.80)

Дійсно

,

.

Отже

,

.

Тобто отримали (5.80).

Приклад 5.17. Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Випишемо і розвяжемо характеристичне рівняння

,

.

Тому фундаментальна система розвязків буде наступною

.

Отже

–загальний розвязок.

5.5. Деякі питання теорії лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Задача Штурма – Ліувилля

5.5.1. Зведення диференціального рівняння другого порядку до рівняння, яке не містить члена з першою похідною, з допомогою заміни шуканої функції

Розглянемо однорідне диференційне рівняння другого порядку

. (5.81)

Заміною

, (5.82)

де z– нова змінна,(x)- двічі неперервно диференційована функція на інтервалі неперервності коефіцієнтів, диференціальне рівняння (5.81) зводиться до диференціального рівняння, яке не містить члена з першою похідною. Підставимо (5.82) в (5.81), отримаємо

,

. (5.83)

Виберемо з умови

. (5.84)

За можна взяти, наприклад, функцію

, (5.85)

тоді

,

і диференціальне рівняння (5.83) перепишеться у вигляді

, (5.86)

де . ФункціяQ(x)називається інваріантом диференціального рівняння (5.81).

Приклад 5.18.Звести диференціальне рівняння Бесселя

(x > 0), (5.87)

до вигляду, який не містить члена з першою похідною з допомогою заміни шуканої функції.

Розв'язання. Тут , . Таким чином

і рівняння Бесселя підстановкою приводиться до рівняння

. (5.88)

5.2.2. Зведення диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь, які не містять члена з першою похідною з допомогою заміни незалежної змінної

Розглянемо для диференціального рівняння (5.81) заміну

(5.89)

і покажемо, що диференціальне рівняння можна привести до вигляду, який не містить члена з першою похідною.

Припустимо, що – неперервно диференційована функція на інтервалі неперервності коефіцієнтівдиференціального рівняння (5.81), причому . Маємо

, , (5.90)

де – функція, яка визначається з (5.89). Підставляючи (5.90) в (5.81), отримаємо

.

Функцію виберемо з рівняння . Звідки . Взявши , знаходимо функцію як частинний розв'язок

. (5.91)

Таким чином, підстановкою , диференціальне рівняння (5.81) зводиться до вигляду

, . (5.92)

Приклад 5.19.Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Зведемо наше диференціальне рівняння до вигляду, який не містить члена з першою похідною з допомогою заміни

.

Будемо мати диференціальне рівняння .

Отже .